พหุนาม
 

ให้ x y เป็นจำนวนเต็มบวก ถ้า x+y = 2554 แล้วค่าต่ำสุดและสูงสุดของ 1/x + 1/y เท่ากับเท่าไร

ต่ำสุด $\frac{2}{1277}$
มากสุด $\frac{2554}{2553}$

$x+y=2554$
$xy=x(2554-x)=2554x-x^2$
ให้ $2554x-x^2=M$
$x^2-2554x+M=0$
สมการนี้จะมีคำตอบเมื่อค่า discriminant $\geqslant 0$
$(2554)^2-4M \geqslant 0$
$4M-(2554)^2 \leqslant 0$
$M \leqslant (1277)^2$
$M$ มีค่ามากที่สุดคือ $(1277)^2$ ซึ่งทำให้ค่า $\frac{1}{x} +\frac{1}{y} $ มีค่าน้อยที่สุด
ค่าน้อยที่สุดคือ $\frac{2}{1277}$

ค่ามากที่สุด ไม่น่าจะหาได้เพราะสมการ $2554x-x^2$ เป็นพาราโบลาคว่ำ หาได้แต่ค่าสูงสุด ไม่ีมีค่าต่ำสุด

แต่ x และ y เป็นจำนวนเต็มบวกนะคะ มันมี range ของมันอยู่ค่ะ

เสน่ห์ข้อนี้น่าจะอยู่ที่วิธีแบบ "ม.ต้น" นะครับ :laugh:

คิดแบบนี้ได้ไหมคะ

พิจารณาผลต่างของค่า x กับ y
กรณีที่ผลต่างเป็น 0 คือ x = y , 2x = 2554
กับกรณีที่ผลต่างเป็น 2a, x กับ y เป็น x-a กับ x+a

$ \frac {1}{x} + \frac {1}{x} = \frac {2}{x} = \frac {2x}{x^2} $

$ \frac {1}{x-a} + \frac {1}{x+a} = \frac {2x}{x^2-a^2} $

$ \frac {2x}{x^2} < \frac {2x}{x^2-a^2} $

$ ดังนั้น ถ้า\; x \;กับ\; y \;ยิ่งมีค่าต่างกันมาก, คือ \; a \;ยิ่งมีค่ามาก, จะทำให้ \frac {1}{x} + \frac {1}{y} ยิ่งมีค่ามาก $

$ Min : \frac {1}{1277} + \frac {1}{1277} = \frac {2}{1277} $

$ Max : \frac {1}{1} + \frac {1}{2553} = 1 \frac {1}{2553} $

:)

ตายล่ะ คนแก่ตาไม่ดี อ่านโจทย์ไม่หมด ถ้าโจทย์กำหนดให้ $x$ เป็นจำนานเต็มบวก ดังนั้น $2554x-x^2$ มีค่ามากที่สุดเมื่อ $x$ มีค่าน้อยที่สุดคือ $1$ ได้คำตอบล่ะ คือ $2554x-x^2=2553$
ค่าสูงสุดของ $\frac{1}{x}+\frac{1}{y} $ คือ $\frac{2554}{2553} $

ค่าดังกล่าวก็คือ $\dfrac{2554}{xy}$
ค่า $xy$ ที่มากที่สุด หาได้จาก $AM-GM$ ก็คือ $1227^2$
ค่า $xy$ ที่น้อยที่สุด ให้ $x>y$
ใช้ $xy > (x+1)(y-1)$
ดังนั้น ค่าต่ำสุดของ $xy=2553$ เกิดขึ้นเมื่อ $x=2553,y=1$
ค่าต่ำสุด $\dfrac{2}{1277}$
ค่ามากสุด $\dfrac{2554}{2553}$

รบกวนหน่อยนะคะ AM GM คืออะไรหรอคะ เป็นหลักสูตรที่ต้องเรียน หรือสำหรับในค่ายคะ

ขอบคุณทุกคนด้วยนะคะ

AM-GM อยู่ในค่าย ส่วน Calculus เรียนตอนม.ปลายครับ
ไม่ใช่วิธีม.ต้นแน่นอน

มีเชือกยาว 5108 เอามาขดเป็นสี่เหลี่ยมมุมฉาก
พื้นที่มากสุด น้อยสุดเป็นเท่าไร

ด้านเป็นจำนวนเต็มเลยใช้วิธีประมาณนี้ได้
set จุดบนแกน $x,y$ ด้วยคู่อันดับ $(x,y)$
โดยที่ $x+y=2554$ แล้วดูพื้นที่แบบ $1*1$ ที่เพิ่มขึ้น
จะได้รูปขั้นบันได หักหัวบันไดออกจะเห็นสัดส่วนของพท.ได้ไม่ยาก

ปล.ไม่ต้องสนใจวิธีผมก็ได้นะ ผมว่ามันค่อนข้างปัญญาอ่อน :laugh:

ขอบคุณมากนะคะ อึ้งกับวิธีคิดเลยค่ะ ไม่นึกว่าคิดอย่างนี้ได้ด้วย