Mathcenter Forum - พีชคณิตช่วยทีครับ

Mathcenter Forum (https://www.mathcenter.net/forum/index.php)

- ปัญหาคณิตศาสตร์ ม. ต้น (https://www.mathcenter.net/forum/forumdisplay.php?f=31)

- - พีชคณิตช่วยทีครับ (https://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=21696)

พีชคณิตช่วยทีครับ

$4x^2-40\left\lfloor\,x\right\rfloor +51=0$ หาx
$และ a,b,cเป็นความยาวด้านของสามเหลี่ยมซึ่งa>b>cโดยที่a+c=2b และbเป็นจำนวนเต็มถ้าa^2+b^2+c^2=84 หาb$

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ แฟร์ (ข้อความที่ 174047)

a , b , c เป็นความยาวด้านของสามเหลี่ยม
ซึ่ง a > b > c
โดยที่ a + c = 2b
และ b เป็นจำนวนเต็ม
ถ้า (a^2) + (b^2) + (c^2) = 84
หา b

b^2 = (a^2) + (c^2) - 2ac(cos ก) สมการากวามสัมพันธ์ของสามเหลี่ยม

(a + c)^2 = (2b)^2 = (a^2) + (c^2) + 2ac = 4(b^2)
( (a^2) + (c^2) + 2ac )/4 = b^2

(a^2) + (c^2) = 84 - (b^2)
0.75(a^2) + 0.75(c^2) = 63 - 0.75(b^2)

0 = 0.75(a^2) + 0.75(c^2) - 2ac(cos ก) - (ac/2)
0 = 63 - 0.75(b^2) - 2ac(cos ก) - (ac/2)

-63 + 0.75(b^2) = ac( -2(cos ก) - 0.5 )
[ -63 + 0.75(b^2) ] / ( -2(cos ก) - 0.5 ) = ac เป็นสมการที่ 1

(b^2) - ((ac)/2) = ((a^2) + (c^2))/4
4( (b^2) - ((ac)/2) ) = (a^2) + (c^2) เป็นสมการที่ 2

( (a^2) + (c^2) + 2ac )^0.5 = a + c เป็นสมการที่ 3

ถ้ารู้ ก , b
ก็รู้ ac , (a^2) + (c^2) , a + c

แทน่า ใน Excel
ก = องศา , b = 5
ac = 20.5
(a^2) + (c^2) = 59
a + c = 10
a = 7.12132 , c = 2.87868
Answer b = 5

สวัสดีค่ะ คำตอบถูกต้องแล้วค่ะ
แต่อย่างไรก็ดี ควรพิสูจน์ว่ามีหนึ่งคำตอบด้วยนะคะ
ขอตัวไปจิบน้ำชาก่อนค่ะ
สวัสดีค่ะ

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Leng เล้ง (ข้อความที่ 174045)

$4x^2-40\left\lfloor\,x\right\rfloor +51=0$ หาx

$4x^2-40\left\lfloor\,x\right\rfloor +51=0$

จะได้ $\left\lfloor\,x\right\rfloor = \frac{4x^2+51}{40}$ และ $x=\frac{\sqrt{40\left\lfloor\,x\right\rfloor-51}}{2}$ $---(*)$

จาก $x-1<\left\lfloor\,x\right\rfloor\leq x$

จะได้ $x-1<\frac{4x^2+51}{40}\leq x$

แก้อสมการ จะได้ว่า $\frac{3}{2}\leq x\leq\frac{7}{2} , \frac{13}{2}\leq x \leq\frac{17}{2}$

ดังนั้น $\left\lfloor\,x\right\rfloor$ ที่เป็นไปได้คือ $1,2,3,6,7,8$

แทนลงใน $(*)$ และตรวจคำตอบ ว่า $x$ กับ $\left\lfloor\,x\right\rfloor$ สอดคล้องกันมั้ย

จะได้ $x=\frac{\sqrt{29}}{2}, \frac{\sqrt{189}}{2}, \frac{\sqrt{229}}{2}, \frac{\sqrt{269}}{2}$

ไม่แน่ใจค่ะ :please:

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Leng เล้ง (ข้อความที่ 174045)

$a,b,cเป็นความยาวด้านของสามเหลี่ยมซึ่ง a>b>cโดยที่a+c=2b และbเป็นจำนวนเต็ม ถ้าa^2+b^2+c^2=84 หาb$

Power mean inequality

$ \begin{array}{rcl} \left(\frac{a+c}{2}\right) &\leq& \left(\frac{a^2+c^2}{2}\right)^\frac{1}{2}\\

b& \leq& \left(\frac{a^2+c^2}{2}\right)^\frac{1}{2}\\

b^2 &\leq& \frac{a^2+c^2}{2}\\

2 b^2 & \leq& a^2+c^2\\

3 b^2 & \leq& a^2+b^2+c^2 = 84 \\

b^2 &\leq& 28 \end{array}$

$ \therefore b \leq 5 $

ถ้า b = 1, 2, 3, 4 จะได้ a+c = 2, 4, 6, 8 ทำให้ $ a^2+2ac+c^2+b^2 = 5, 20, 45, 80 $ ตามลำดับ ซึ่งขัดแย้งกับ $a^2+b^2+c^2 = 84 $

$ \therefore b = 5 $

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ computer (ข้อความที่ 174054)

เยี่ยมครับ แต่เมื่อแก้อสมการได้ค่าxแล้วแทนกลับไปในสมการ $\,\left\lfloor\,x\right\rfloor=\frac{4x^2+51}{40}$

จะได้$\,\frac {3}{2}\leqslant \left\lfloor\,x\right\rfloor <\frac {7}{2}$

และ$\,\frac {13}{2}<\left\lfloor\,x\right\rfloor\leqslant \frac {17}{2} $

แต่$\,\left\lfloor\,x\right\rfloor\, $ ต้องเป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น ค่า$\,\left\lfloor\,x\right\rfloor\, $ที่ใช้ได้จึงมีเพียง $\,2,6,7,8\,$เท่านั้น

เอาไปแทนในสมการโจทย์ก็จะได้ค่าxออกมา4ค่าดังกล่าว