Functional Equation
From Hongkong TST 2018
Find the function that $f:\mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R} $ such that $$f(f(xy-x))+f(x+y)=yf(x)+f(y)$$ |
ไม่แน่ใจว่าตกหล่นอะไรไปรึเปล่านะครับ ไม่ค่อยคล่องเรื่องนี้ แนะนำได้เลยครับ
แทนค่า $x=y=0$ ได้ $f(f(0))+f(0)=f(0)$ ดังนั้น $f(f(0))=0$ แทนค่า $x=0$ ได้ $f(f(0))+f(y)=yf(0)+f(y)$ $yf(0)=0$ ดังนั้น $f(0)=0$ แทนค่า $y=0$ ได้ $f(f(-x))+f(x)=f(0)=0$ ดังนั้น $f(f(-x))=-f(x) ------------------ (1)$ จาก $(1)$ ได้ว่า $f(f(xy-x))=-f(x-xy)$ ดังนั้นจากโจทย์ จะได้ $-f(x-xy)+f(x+y)=yf(x)+f(y) ------------------ (2)$ แทน $x=-1$ ใน $(2)$ ได้ $-f(y-1)+f(y-1)=yf(-1)+f(y)$ ดังนั้น $f(y)=y(-f(-1))$ ให้ $-f(-1)=k$ จะได้ $f(y)=ky$ แทนค่าในโจทย์ได้ $f(f(xy-x))=f(k(xy-x))=k^2(xy-x)$ $k^2(xy-x)+k(x+y)=y(kx)+ky$ ดังนั้น $k=0$ หรือ $k(xy-x)+x+y=xy+y => k=1$ ดังนั้น function ที่ต้องการคือ $f(x)=0$ หรือ $f(x)=x$ |
:great::great: เยี่ยมครับ วิธีเกือบจะเหมือนกันเลยครับๆ
|
ขอบคุณครับ :please:
|
เราจะมีหลักการพิสูจน์ไหมครับว่าฟังก์ชันที่มีคุณสมบัติข้างต้นไม่สามารถเป็นฟังก์ชันอื่นนอกจากฟังก์ชันพหุนามเท่านั้น
|
Find all function satisfy the following condition,
$f:\mathbf{R^+} \rightarrow \mathbf{R^+}$ $$f(x+y)=2f(x)-x+f(f(y))$$ $i)$ $f(cx)=cf(x),$ for any $c\in\mathbb{R^+}$ $ii)$ $f(1)=1$ for any $x,y\in\mathbb{R^+}$ |
แบบนี้ได้มั้ยครับ มันสั้นแปลก ๆ
แทน $x=y$ ได้ $f(2x)=2f(x)-x+f(f(x))$ แต่ $f(2x)=2f(x)$ ดังนั้น $f(f(x))=x$ แทน $x=1$ ได้ $f(y+1)=f(f(y))+1=y+1$ ดังนั้นมีคำตอบเดียวคือ $f(x)=x$ |
มันไม่ได้ยากมากครับ เเต่ที่คุณ otakung สรุปเราาจะได้เเค่ว่า $f(x)=x$ ทุก $x>1$ ครับ
จริงๆก็จะเสร็จอยู่เเล้วครับ |
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
จากสมการล่าสุดได้ว่า $f(x+1)=x+1$ แทน $y=1$ ได้ $f(x+1)=2f(x)-x+1$ ดังนั้น $x+1=2f(x)-x+1$ $f(x)=x$ แบบนีี้ (คิดว่า) น่าจะโอเคแล้ว ตอนตอบครั้งแรกผมตัดช่วงหลังทิ้งไปเพราะดูอีกทีเห็น $f(y+1)=y+1$ ก็น่าจะสรุปได้เลยว่า $f(x)=x$ ก็เลยตัดจบตรงนั้นเลย :haha: พอคุณจูกัดเหลียงบอกก็เลยอ๋อว่ามันตัดไม่ได้นี่นา :please: |
Let $f:R\rightarrow R$ prove that $f(x)=f(-x)$ ,where $$f(3x+y)+f(3x-y)=f(x+y)+f(x-y)+16f(x)$$
for any real $x,y$ |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 22:27 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha