โจทย์ที่หาได้มา...
 

1. ทรงสี่หน้ามีสันยาว $a,b,c,d,e,f$ มีพื้นที่ของแต่ละหน้าเท่ากับ $S_1,S_2,S_3,S_4$

และมีปริมาตรเท่ากับ $V$ จงพิสูจน์ว่า $2\sqrt{S_1S_2S_3S_4}>3V\sqrt[6]{abcdef} $

2. ถ้ามีจำนวนเต็มบวก $a,b,c$ ที่ $\frac{a}{b} +\frac{b}{c} +\frac{c}{a}=3 $

จงแสดงว่า $abc$ เป็นกำลังสามสมบูรณ์

3. สี่เหลี่ยม $ABCD$ แนบในวงกลมโดยมี $AD$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง

จงใช้ไม้บรรทัดและวงเวียนสร้างสามเหลี่ยมที่แนบในวงกลมเดียวกันและมีพื้นที่เท่ากันกับ $ABCD$

4. ให้ $k=2^{2^{n+1}}$ ทุก $n\in \mathbb{N} $ จงแสดงว่า $k$ เป็นจำนวนเฉพาะก็ต่อเมื่อ

$k$ หาร $3^{\frac{k-1}{2}}+1$ ลงตัว

5. รูป 6 เหลี่ยมนูน $ABCDEF$ มีมุม $A+C+E=B+D+F $ จงแสดงว่า $AD,BE,CF$ ตัดกันที่จุดๆหนึ่ง

ข้อ 2. ใช้อสมการ AM - GM ครับ
ปล. ข้ออื่นผมมืดสิบทิศเลยครับ ยากมาก

ข้อ 2...ทั้งๆที่รู้ว่าถ้าใช้AM-GM ก็ไม่น่าจะใช้เกินห้าบรรทัดก็จบ ลองใช้วิธีทางพีชคณิตดูแล้วก็ไม่ออก ตันจริงๆ
ผมก็ไม่สันทัดAM-GM ลองทำดูแล้วกัน.....ข้อ 2 น่าจะง่ายที่สุดในกลุ่ม ข้ออื่นเกินความรู้ที่ผมมี ขอบายครับ

ให้$x=\frac{a}{b} ,y=\frac{b}{c} , z=\frac{c}{a}$
$x+y+z=3$ และ $xyz=1$
จาก$AM-GM,$

$\dfrac{a_1a_2a_3...a_n}{n} \geqslant \sqrt[n]{a_1a_2a_3...a_n} $
จะยุบเป็นสมการเมื่อ$a_1=a_2=a_3...=a_n$

$\frac{x+y+z}{3}\geqslant \sqrt[3]{xyz} $
$\frac{x+y+z}{3} = \sqrt[3]{xyz}$ เมื่อ$x+y+z=3,xyz=1$
$x+y+z = 3xyz$ แสดงว่า$x=y=z$
ดังนั้น$\frac{a}{b}= \frac{b}{c} =\frac{c}{a} =k \rightarrow a=kb,b=ck,c=ak$
$abc=(kb)b(k^2b)=(kb)^3 = a^3$

วิธีที่ทำแบบคณิตศาสตร์พื้นๆ
ให้$x=\frac{a}{b} ,y=\frac{b}{c} , z=\frac{c}{a}$
$x+y+z=3$ และ $xyz=1$
$(x-1)+(y-1)+(z-1)=0$.......จับยกกำลังสองทั้งสองข้าง
$(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2+2[(x-1)(y-1)+(y-1)(z-1)+(x-1)(z-1)]=0$
$(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2+2[(xy-x-y+1)+(yz-y-z+1)+(xz-x-z+1)]=0$
$(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2+2[(xy+yz+xz)-2(x+y+z)+3]=0$
$(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2+2[(xy+yz+xz)-3]=0$
ถ้าพิสูจน์ได้ว่า$xy+yz+xz =3$ หรือ$\frac{1}{x} +\frac{1}{y} +\frac{1}{z} =3 $ ก็จะนำไปสู่การสรุปว่า $x-1=0,y-1=0,z-1=0 \rightarrow x=y=z=1\rightarrow a=b=c$
แต่ผมยังพิสูจน์ไม่ได้ จำต้องใช้AM-GM
ไม่รู้ว่าคิดตรงไหนผิดบ้างช่วยคนแก่ดูหน่อยครับ
ช่วงนี้สะเพร่าบ่อยจริงๆ

ผมรู้สึกว่าข้อนี้พิมพ์ผิดหรือเปล่าครับ:confused:

ผิดยังไงครับ

ที่ผมดูมามันก็อย่างงี้อ่ะครับ

ผิดตรงที่ k-1 เป็นจัมนวนคี่ไงครับ
ข้อท้ายนี่รู้สึกจะเคยเห็นใน IMO compe.. หรือเปล่าครับ
เคยอ่านหนังสือชื่อเพอร์ซาลอบมีโจทย์เรขา 3000 ข้อ 20 หกว่าบท ไหมครับ
ของรัสเซีย ไม่เกี่ยวอะไรหรอกครับถ้าเคยเจอรบกวนช่วยบอกที่อยู่ด้วยครับ

น้องอาร์ทจะไม่ช่วยบอกน้าหน่อยเหรอครับว่าน้าทำถูกหรือทำผิดตรงไหน น้ากำลังงงอยู่ :wacko::wacko::wacko:

ขอชื่ออังกฤษด้วยครับ

จาก$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=3$
ให้$p=\frac{a}{b} ,q=\frac{b}{c} , r=\frac{c}{a}$

$(p-1)^2+(q-1)^2+(r-1)^2+2[(pq+qr+qr)-3]=0$
ถ้าพิสูจน์ได้ว่า$pq+qr+qr=3 =3$ หรือ$\frac{1}{p} +\frac{1}{q} +\frac{1}{r} =3 $ ก็จะนำไปสู่การสรุปว่า $p-1=0,q-1=0,r-1=0 \rightarrow p=q=r=1\rightarrow a=b=c$
เพิ่งคิดวิธีการพิสูจน์ได้ว่า$xy+yz+xz =3$ เปลี่ยนเป็น $pq+qr+pr=3$
ขอเปลี่ยนตัวแปรให้ดูง่ายขึ้นว่า
$p+q+r=3$ และ $pqr=1$ จะเป็นรากของสมการ
$x^3+3x^2+(pq+qr+pr)x+1=0$
จากทฤษฎีเศษเหลือที่เขียนไว้ จะได้ว่า$p(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ ได้รากคำตอบเป็นจำนวนเต็มเมื่อนำตัวประกอบของ $d$ลงไปแทนค่าลงใน$p(x)$แล้วทำให้$p(x)=0$
$x^3+3x+(pq+qr+pr)x+1=0$......1 มีตัวประกอบคือ $1,-1$
ดังนั้น$p(x)$จะมีรากเป็นจำนวนเต็มเมื่อมี$x-1$ กับ $x+1$ เป็นตัวประกอบ
$p(1)= (pq+qr+pr)+5=0 \rightarrow (pq+qr+pr)= -5$ เนื่องจากโจทย์กำหนดให้ $a,b,c$เป็นจำนวนเต็มบวก
ดังนั้น $pq+qr+qr$ต้องเป็นค่าบวก จึงไม่ใช้ค่านี้
$p(-1)=(pq+qr+pr)-3=0 \rightarrow (pq+qr+pr)= 3$ ค่านี้ใช้ได้
ดังนั้นเงื่อนไขที่กำลังมองหามาแล้ว จึงสรุปได้ว่า$pq+qr+qr=3$
ทำให้$(p-1)^2+(q-1)^2+(r-1)^2+2[(pq+qr+pr)-3]=0$ เหลือเพียงแค่
$ (p-1)^2+(q-1)^2+(r-1)^2=0$
จะสรุปได้ว่า $p=q=r=1 \rightarrow a=b=c$
ดังนั้น$abc = a^3=b^3=c^3$ เป็นกำลังสามสมบูรณ์ตามที่โจทย์ต้องการ

ยังพิสูจน์ไม่ได้ ให้คุณOnasdiช่วยดูแล้วคิดว่า
ยังไม่สามารถนำมาใช้ได้ และควรแก้สมการเป็น
$x^3-3x+(pq+qr+qr)x-1=0$

ข้อนี้ $k$ มองยังไงก็เป็นจำนวนประกอบครับ

คิดว่าเป็นแบบนี้

$k=2^{2^{n}}+1$

ใช่ครับๆ อย่างงี้แหละครับ