ขอแนวคิดหน่อยครับ Group Theory
 

Let $G$ be a group and $a,b \in G$.
Prove that if $a^{2}=e$ and $ab^{4}a=b^{7}$, then $b^{33}=e$, where $e$ is the identity of group $G$.

:please:

1. พิสูจน์ว่า $a=a^{-1}$

2. พิสูจน์ว่า $b^{49}=(b^7)^7=(ab^4a)^7=(ab^7a)^4=(b^4)^4$

โอเคครับ ขอบคุณมากครับ

แล้วไอเดียนี้เราจะเริ่มยังไงอะครับ หรือเดามาเลยว่ามันควรจะเป็นแบบนี้

ไอเดียคือหาทางกำจัด $a$ ให้ได้ ซึ่งจากสมการที่โจทย์ให้มา เรามองว่า $ab^4a=ab^4a^{-1}$ ซึ่งอยู่ในรูป conjugate

conjugate มีสมบัติที่ดีมากคือ ถ้านำมายกกำลังก็สามารถเอาตัวไส้ในมายกกำลังได้เลย ในขณะที่สองตัวที่อยู่ขนาบข้างยังเหมือนเดิม

สมบัตินี้จะช่วยให้เรากำจัดตัว $a$ ออกไปได้ครับ

แล้วแบบนี้ สมมติว่าผมเรียนมาจบแค่นิยามของกรุป สมบัติๆต่างๆเช่น มีเอกลักษณ์ตัวเดียว
อินเวอร์สของอินเวอร์สคือตัวมันเอง เพียงเท่านี้ โดยที่ไม่รู้จักคำว่าคอนจูเกตมาก่อน
เราจะมีการหาทางอย่างอื่นมั้ยครับ หรือว่ายังไงเราก็ต้องสังเกตเอาครับ

สังเกตเอาก็น่าจะได้ครับ สมบัติของ conjugate ไม่ได้ยากอะไรเลย มาจากการสังเกตน่ะแหละครับ

$(aba^{-1})^2=(aba^{-1})(aba^{-1})=ab^2a^{-1}$

ไอเดียจริงๆก็มีแค่นี้แหละครับ

ขออีกข้อครับ
Let $G$ be a group with $a^{-1}b^{2}a=b^{3}$ and $b^{-1}a^{2}b=a^{3}$.
Show that $a=b=e$.

ยากจังครับข้อนี้

นั่นซิครับ ยาก เล่นเอาท้อเลย