USSR ploblem
prove that 2222^5555 + 5555^2222 is divisible by 7
|
Find the last 1000 digits og the number
N=1+50+50^2+50^3+...+50^999 |
เอาข้อแรกไปก่อนละกัน เนื่องจาก
\(2222\equiv{}3,\ 2222^2\equiv{}2,\ 2222^3\equiv{}6,\ 2222^4\equiv{}4,\ 2222^5\equiv{}5,\ 2222^6\equiv{}1(mod7)\) และ \(5555\equiv{}4,\ 5555^2\equiv{}2,\ 5555^3\equiv{}1(mod7)\) cyclic จะได้ว่า \(2222^{5555}\equiv5, 5555^{2222}\equiv2(mod7)\) นั่นคือ ผลรวมของทั้งสองตัว(เทอมที่โจทย์ให้มา)หารด้วยเจ็ดลงตัว ### ปล. ข้อสองแน่ใจนะครับว่าให้หาทั้งพันหลัก :eek: (หากแค่สามตัวท้าย ก็คือ 551) |
ไม่แน่ใจว่า 1000 หรือ 100 แต่ไม่ใช่แน่ 3 ตัวค่ะ
|
หฤโหดมากครับข้อนี้ :mad: ผมสังหรณ์ใจว่าผมรู้ว่าจะทำยังไง แต่ยังไม่มีเวลาศึกษาเรื่องนั้นครับ. :p ใครเป็นผู้เชี่ยวชาญด้าน Number Theory อาจจะอยากลองคิดดูนะครับ. ตอนนี้โกงจาก Mathematica มาให้ มันมีรูปแบบของมันอยู่ รูปแบบที่ว่าก็คือ ประมาณพันกว่าตัวแรก มันจะมีคาบคือ จำนวน
469387755102040816326530612244897959183673469387755102040816326530612244897959\ 183673 ส่วนเลขที่เลขลงท้ายคือ 4693877551 ถ้านับถอยไป ก็เจอได้คำตอบครับ. :eek: |
จะเห็นว่า\[N=1+50+50^2+\dots+50^{999}\]\[=\frac{50^{1000}-1}{49}=
\bigg\lfloor\frac{50^{1000}}{49}\bigg\rfloor= \bigg\lfloor\left(\frac{5^{1000}}{49}\right)\cdot10^{1000}\bigg\rfloor\]เนื่องจาก\[5^{1000}\equiv16\pmod{49}\]ดังนั้นเลข 1000 หลักท้ายของ N ก็คือ\[\bigg\lfloor\left(\frac{16}{49}\right)\cdot10^{1000}\bigg\rfloor\]ถ้าเรารู้ว่า\[\frac{16}{49}= 0.\dot32653061224489795918367346938775510204081\dot6\]เราก็จะได้คำตอบออกมาทันทีครับ แต่ผมไม่ทราบว่ามีวิธีง่ายๆที่จะหาค่าของ 16/49 ออกมาเป็นเลขทศนิยมหรือเปล่า |
เย่ ๆ ต่อจนจบอีกจนได้ ;) ขอบคุณคุณ warut มากครับ. ฮิ ๆ
การแปลง 16/49 เป็นทศนิยมสามารถหาได้ง่าย ๆ โดยใช้วิชา Vedic Mathematics ครับ. เริ่มต้นเขียน 16/49 เป็น 16/50 จากนั้นเลื่อนจุดทศนิยมไป 1 ตำแหน่งคือเป็น 1.6/5.0 หรือ \(\frac{1.6}{5}\) จากนั้นก็ทำแบบนี้ครับ. หาร 1.6 ด้วย 5 ได้ 0.3 เศษ 1 เขียนเป็น 0.13 (เขียนเศษเยื้องไว้ทางซ้ายมือของผลลัพธ์) จากนั้นให้เรามองแบบเฉียง ๆ ว่าตัวตั้งตอนนี้ คือ 13 แล้วเอา 5 ไปหาร 13 ได้ 2 เศษ 3 ก็จะเขียนเป็น 0.13 32 มองว่าตัวตั้งตอนนี้ คือ 32 เอา 5 ไปหาร 32 ได้ 6 เศษ 2 ก็จะเป็น 0.133226 จากนั้นก็มองว่าตัวตั้งเป็น 26 แล้วก็ทำแบบนี้ไปเรื่อย ๆ จนทศนิยมเริ่มซ้ำครับ. :D |
ว้าว...ในที่สุดคุณ gon ก็ได้แสดงให้เห็นถึงพลังอันร้ายกาจที่เกิดจากการฝึกเคล็ดวิชา Vedic Math ที่เคยพูดถึงไว้ น่าสนใจดีครับ :)
|
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 09:08 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha