Diamond #
 

รบกวน Hint หรือ เฉลยละเอียดก็ดีครับ ขอบคุณครับ :)

1. $f(x) =(1+x+x^2+...+x^{27})(1+x+x^2+...+x^{14})^2$ จงหาสัมประสิทธิ์พจน์ที่ $x^{28}$ ของ f(x)

2. A = {3n-2 | n=1,2,3,...,2010}

B = {7n+2 | n= 1,2,3,...,2010}

จงหาว่า n(A U B) มีค่าเท่าไร

ข้อนี้เข้าใจว่าได้ 4020 - อะไรสักอย่าง (อะไรสักอย่างหายังไงครับช่วงที่ intersection กัน)

3. .ให้ a,b,c,d เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับ

$\frac{(a-b)(c-d)}{(b-c)(d-a)} = - \frac{1}{100}$

จงหาว่า $\frac{(a-c)(b-d)}{(a-b)(c-d)}$ มีค่าเท่าใด

ข้อ 2.กำหนดเป็นคู่อันดับ(x,y)จะได้ 3x-7y=4 โดยที่ xเป็นn ในA และ yเป็น n ในB
x=$\frac{4}{3} +\frac{6y}{3}+ \frac{y}{3}$
จะได้ว่า y ต้องเป็นจำนวนที่หารด้วย3แล้วเหลือเศษ 2
สุดท้ายจะได้ช่วงที่ intersection กัน

ข้อนี้ก็คือ ordinary generating function ในเรื่องคอมบินาทอริกนั่นเองครับ.

จะได้ $f(x) = \frac{1-x^{28}}{1-x}(\frac{1-x^{15}}{1-x})^2 = (1-x^{28})(1-2x^{15}+x^{30})(1-x)^{-3}$

จากนั้นใช้ $$(1-x)^{-n} = \sum_{r=0}^{\infty}\binom{n+r-1}{r}x^r$$

แก้สมการไดโอแฟนไทน์ $3m-2 = 7n+2$ ดังนี้

$3m-7n=4$

$m-2n-\frac{n}{3} = 1+\frac{1}{3}$

แสดงว่า $\frac{n+1}{3}$ ต้องเป็นจำนวนเต็ม

ดังนั้น $n+1=3k$ สำหรับจำนวนเต็ม k บางจำนวน

นำ n ไปแทนค่าในสมการแรกจะได้ $m = 7k-1$

ดังนั้น (m, n) = (7k-1, 3k-1)

จากนั้นก็พิจารณาในช่วงที่ให้มา ก็จะรู้ว่า k เป็นเท่าไรได้บ้าง ก็คือจำนวนตัวที่ซ้ำครับ.

เนื่องจาก (a-c)(b-d)

= ab - ad - bc + cd

= ab - bd - ad - bc + cd + bd - ac + ac

= b(a-d) + c(d-a) + d(b-a) + c(a-b)

= (b-c)(a-d) + (c-d)(a-b)

ดังนั้น

$\frac{(a-c)(b-d)}{(a-b)(c-d)} = 1 - \frac{(b-c)(d-a)}{(a-b)(c-d)}$

ขอบคุณพี่ gon ครับ เพิ่มโจทย์แล้วรบกวนทุกท่านต่อด้วยนะครับ :)

4. จงหาค่าของ $tan 53 + tan 37 -(tan53-tan37)tan8 $ มีหน่วยเป็นองศาขอละไว้นะครับ :)

5. สัมประสิทธิ์ของ $x^{20}$ ใน $(x^3+x^4+x^5+...)^3 $เท่ากับเท่าไร

6. เขียน $10^{93} -93 $ ในรูปจำนวนตามค่าประจำหลักต่าง ๆ ผลบวกของเลขโดดของทุกหลักในจำนวนนั้นเป็นเท่าไร (เ่ช่น Sum(1234) = 1+2+3+4 = 10)

7. สัมประสิทธิ์ของ $x^2$ ในการกระจาย $(1-3x)^5(2+x)^4$ เป็นเท่าใด

8. ถ้าผลบวกของสัมประสิทธิ์ในการกระจาย $(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} +x\sqrt{x})^n = 256$ แล้วสัมประสิทธิ์ของ x ในการกระจายเท่ากับเท่าใด

9. จงหาจำนวนเต็มบวก a ที่มีค่าน้อยที่สุด ซึ่งทำให้ $392|(99^{2n+1}+a\cdot 97^{2n+1})$ ทุกค่าของ n ที่เป็นจำนวนนับ (196|392 จะหา a ยังไงครับ ?)

10. กำหนด x,y,z เป็นจำนวนเต็มบวกโดยที่ $x>y>z$ และ $\frac{1}{x^2} +\frac{1}{y^2}=\frac{1}{z^2}$ ค่าของ $x^2+y^2+z^2$ ที่น้อยที่สุดเท่ากับเท่าใด

รบกวนด้วยนะครับ ยังอ่อนหัด co ef อยู่เลย :)

ขอบคุณครับ :please:

ข้อ 4.
tan 8 = $\frac{1}{7}$
tan 53 = $\frac{4}{3}$ , tan 37 =$\frac{3}{4}$
แทนค่าได้

== 2

ปล. tan8 ได้มาจากแทนสูตรนะครับ ไม่ใช่ว่าผมจำมา !
ปล2. $tan(A/2)=\pm \sqrt{\frac{1-cosA}{1+cosA} } $
ปล3. 8 = 16/2

$cos 16$ หาจาก$ sin(2*(37)) $

ข้อ6.จะได้ 999...(91ตัว)...07
คำตอบคือ826

เอ้ออออ จริงด้วยครับ ผม มึน ๆ เอง 555555555555 .

ฝากโจทย์ไว้อีก 3-4 ข้อ

11.ให้ f(x) แทนพหุนามที่มีดีกรี 8 และสอดคล้องกับ

$f(m) = \frac{1}{m}$ ทุก ๆ $m = 1,2,3,...,9$

จงหา f(10)

12. x,y,z เป็นคำตอบที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนของระบบสมการ

$x+y+z =0$

$x^3+y^3+z^3 =3$

$x^5+y^5+z^5 = 0$

จงหา $x^{2008} +y^{2008}+z^{2008}$

13. ถ้า m และ n เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับสมการ $(m+\sqrt{m^2+1})(n+\sqrt{n^2+1}) =1$

ค่าของ m+n อยู่ในช่วงใด

14. กำหนด $A = \bmatrix{-2 & 1 & -1 \\ -4 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 0} $ และ $B=\sum_{n =1}^{2548}A^n$ แล้วผลบวกของสมาชิกทั้งหมดของ B เป็นเท่าใด

ไม่เข้าใจโจทย์ข้อ11.ช่วยอธิบายหน่อย

ผมเข้าใจว่า f(m) คงจะเป็น $ax^8+...$ อะไรสักอย่าง โดยที่ถ้า $m = 1 ,2,3,...,9 $แล้วคำตอบจะเป็น $\frac{1}{m}$ แต่ในที่นี้ถามกรณี $m = 10$

#7
ไม่ใช่นะครับ

$\sin37^\circ\not=\dfrac{3}{5}$

$x^{20}$ ใน $(x^3+x^4+x^5+...)^3=x^9(1+x+x^2+...)^3 $
$=x^9(\dfrac{1}{1-x})^3$
$=x^9 (\sum_{r=0}^{\infty}\binom{3+r-1}{r}x^r)$
เลือก r=11 ได้สปส.หน้า$x^{20}คือ \binom{13}{11}$
แก้ไขแล้วนะครับ TT

#13
แยกตัวประกอบยังไม่ถูกครับ

กำลังรอ คุณ Amankris เหมือนกันครับ โซ้ยซักหน่อยมั้ยครับ ? hint ไว้ให้ก็ดีนะครับ

ใกล้สอบเข้ามาทุกทีแล้ว :)