ช่วยโจทย์ FE ผมด้วยครับ
จงหา $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} $ ทั้งหมดซึ้งสอดคล้องกับสมการเชิงฟังชั่น
$$f(x+f(y))=f(x)+y$$ ปล. ข้อเดิมไม่ไรเป็นแล้วครับคิดออกแล้ว (โพสเสร็จแล้วเพิ่งคิดออก =='') ขอเปลี่ยนอีกข้อครับๆ |
ผมไมได้่ทำโจทย์แบบนี้มา 6 ปีกว่าแล้ว ไม่รู้ว่าคิดมากไปรึเปล่านะครับ
คือผมไม่แน่ใจนะครับว่า $\mathbb{N}$ ในที่นี้รวม 0 ด้วยรึเปล่า (ในประวัติศาสตร์นั้น บางครั้งเราใช้ $\mathbb{N}$ แทน$\{1,2,3,...\}$ แต่ในบางครั้ง(ยุคหลังๆ) ก็ใช้แทน $\{0,1,2,3...\}$) ถ้ารวม 0 ด้วย ก็จะง่ายกว่า ไม่รวม 0 เยอะทีเดียว(กรณีรวม 0 Hint ว่า สามารถแสดงได้โดยง่ายว่า $f$ เป็นฟังก์ชั่น 1-1 ทั่วถึงบน $ \mathbb{N}$ และ $f(0)=0$ ) ข้างล่า่งนี้ จะคิดในกรณีที่ ไม่รวม 0 ละกันนะครับ (นั่นคือ กำหนดว่า $ \mathbb{N}=\{1,2,3,...\}$ ) สมมติ $f(1)=c>0$ จะได้ว่า $f(1+c)=f(1+f(1))=f(1)+1=c+1$ จากนั้นใช้เงื่อนไขจากโจทย์ และ หลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ จะได้ว่า ทุก $k\in \mathbb{N} $ $f(k(c+1))=k(c+1)$ -----------------(*) ในอีกด้านนึง จาก $f(x+f(y))=f(x)+y$ จะได้ว่า ทุก $k\in \mathbb{N}$ $f(kc+k)=f((k-1)c+k+c)=f((k-1)c+k+f(1))=f((k-1)c+k)+1=...=f(k)+k$ ------(**) จาก(*)และ(**) จะได้ว่า $f(k)=kc$ (ทุก $k\in \mathbb{N}$) -------------(***) จาก $f(x+f(y))=f(x)+y$ ได้ว่า $cx+c^2y=cx+y$ (ทุก $x,y\in \mathbb{N}$) จึงได้ว่า $c^2=1$ และเนื่องจาก $f$ เป็นฟังก์ชั่นบน $ \mathbb{N}$ ดังนั้น $c=1$ จาก (***) ได้ว่า $f(x)=x$ |
ขอบคุณครับ
ผมยังสงสัยอีกนิดหนึ่งครับว่าถ้าผมอ้างว่า $f(f(x+f(y)))=x+f(y)$ จะสามารถสรุปได้หรือไม่ครับว่า $f(f(x))=x$ อ่ะครับ |
อ้างอิง:
เพราะว่า อาจจะมี $x_0\in \mathbb{N} $ ที่ทุก $x,y \in \mathbb{N} ,x_0\not= x+f(y)$ ซึ่งทำให้สรุปไม่ได้ด้วยว่า $f(f(x_0))=x_0$ แต่ถ้าแสดง ให้ได้ว่ามี $y_0\in \mathbb{N} $ที่ทำให้ $f(y_0)=1$ ก็สรุปได้แล้วหละครับ ซึ่งผมเชื่อว่าวิธีการพิสูจน์ต้องมีหลายวิธีแน่นอน และวิธีที่ผมได้แสดง ก็เป็นวิธีหนึ่งครับ |
อ๋อครับๆ ขอบคุณมากเลยครับๆ
|
อ้างอิง:
$f(x+z)+y=f(x+z+f(y))=f(x+f(y+f(z)))=f(x)+y+f(z)$ $\therefore f(x+z)=f(x)+f(z);\forall x,z\in\mathbb{N}$ ดังนั้น $f(x)=cx\forall x\in\mathbb{N}$ สำหรับบาง $c\in\mathbb{N}$ แทนกลับไปในโจทย์ได้ว่า $f(x)=x$ เท่านั้น |
ขอบคุณครับๆ
มีงงอีกข้อครับ จงหา $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ ทั้งหมด ซึ่งสอดคล้องกับสมการ $$f(\frac{x+y+z}{3})=\frac{f(x)+f(y)+f(z)}{3}$$ ทุก $x,y,z\in \mathbb{R} $ |
อ้างอิง:
|
THX ครับๆ
มีให้ช่วยอีกข้อครับ ข้อนี้สอวนค่ายมีนา ปีที่แล้วอ่ะครับ จงหา $f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} $ ทั้งหมดที่สอดคล้ิองกับสมการ $$f(m+f(f(n)))=-f(f(m+1))-n$$ |
เพื่อสะดวกในการเขียน ขอให้ $f(f(f(f(x))))=f^{(4)}(x)$ 1.ก่อนอื่นแสดงว่า $f^{(4)}(x)=-f(x)+c$ สำหรับบางจำนวนเต็ม $c$ 2.แสดงว่า $f$ เป็นฟังก์ชัน 1-1 3.นำผลจากข้อ 2 มาช่วยในการแสดงว่า $f^{(4)}(x)-f^{(4)}(y)=x-y$ สำหรับทุกจำนวนเต็ม $x,y$ 4.นำผลจากข้อ 1,3 มาสรุปให้ได้ว่า $f(x)=-x+k$ สำหรับบางจำนวนเต็ม $k$ แล้วแทนค่ากลับไปในโจทย์ หาค่า $k$ และสรุปคำตอบ f(x)=-x-1 สำหรับทุกจำนวนเต็ม $x$ |
ผมให้อีกวิธี เผื่อเป็นทางเลือกครับ
จากโจทย์จะพิสูจน์ได้ว่า f เป็นฟังก์ชั่น 1:1 และทั่วถึง ดังนั้น f มีอินเวอร์ส $(f^{-1})$ แทน $m =-f(f(n))$ ในโจทย์ จะได้ว่า $f(0) = -f(f(-f(f(n))+1))-n$ $f(f(-f(f(n))+1)) =-f(0)-n ... (1)$ แทน $m =f^{-1}(0)-1$ ในโจทย์ จะได้ว่า $f(f^{-1}(0)-1+f(f(n))) = -f(f(f^{-1}(0)-1+1))-n = -f(0)-n ...(2)$ จาก $(1)$ และ $(2)$ จะได้ว่า $f(f(-f(f(n))+1)) = f(f^{-1}(0)-1+f(f(n)))$ ดังนั้น $f(-f(f(n))+1) = f^{-1}(0)-1+f(f(n)) ...(3)$ แทน $n$ ด้วย $f^{-1}(f^{-1}(n))$ ใน $(3)$ จะได้ว่า $f(-f(f(f^{-1}(f^{-1}(n))))+1) = f^{-1}(0)-1+f(f(f^{-1}(f^{-1}(n))))$ ดังนั้น $f(-n+1)=f^{-1}(0)-1+n$ หรือ $f(n)= -n+c$ ทำให้ $f(f(n)) = n$ และจากโจทย์ จะได้ว่า $f(m+n)= f(m+f(f(n)))=-f(f(m+1))-n=-(m+1)-n$ ดังนั้น $-m-n+c =-m-1-n$ ได้ $c=-1$ ดังนั้น $f(n)=-n-1$ ปล. ผมดู hint คุณ beginner01 แล้วไม่ค่อยเข้าใจถ้าไม่รบกวนเกินไปช่วยแสดงวิธีทำให้ดูหน่อยครับ เผื่อจะได้เทคนิคใหม่ๆไว้ใช้ครับ:please: |
เอ่อ... คือผมพิมพ์ผิดครับ ขอโทษครับ พอแก้แล้ว คงโอเคนะครับ...:please:
|
THX ครับๆทั้งสองท่านเลย
ปล ไม่รู้ว่า อ.อังสนา จะออกข้อสอบโหดไปไหน T_T |
อ้างอิง:
|
#14
เกรงว่าผมอาจจะเชื้อเพลิงหมดกลางทาง เลยไปไม่ถึง มน. อย่างที่ อ. เค้าตั้งใจยากให้ไปพิษณุโลกอ่ะสิครับ:sweat::sweat: |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 15:29 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha