ข้อสอบ PAT 1 ครั้งที่ 3/53 (ตุลาคม 53) ฉบับเต็ม
 

ข้อสอบ PAT 1 ครั้งที่ 3/53 (ตุลาคม 53) ฉบับเต็ม มาแล้วครับ
Download ข้อสอบ PAT 1 ครั้งที่ 3/53 (ตุลาคม 53)
ใครว่างๆก็มาช่วยกันเฉลยนะครับ :)

รวมเร็วทันใจเช่นเคยครับ. :great:

ผมสำรองไว้อีก 2 ที่นะครับ. เฉพาะ pat เลข

Link 1
Link 2

ข้อ 6)
$T(x)=\dfrac{\sin x}{1-\sin^2 x}-\dfrac{\cos^2 x}{1-cos^2 x}$ จะได้ $3T(\dfrac{\pi}{3})=6\sqrt{3}-1$

ข้อ 10) เนื่องจาก $ab+bc+ca=-18$ และ $abc=-2$ และ $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{ab+bc+ca}{abc}$
ดังนั้น $log_{27} (\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})=log_{27} (\dfrac{-18}{-2})=\dfrac{2}{3}$

จากจัตุรัสกล 1- 9 ที่เล่นตั้งแต่เด็กๆแล้วจำได้ ^^
มาประยุกต์เป็น 2-10

8 1 6 ---> 9 2 7
3 5 7 ---> 4 6 8
4 9 2 ---> 5 10 3

ทำให้ข้อนี้ x = 4

แต่ถ้าจำไม่ได้ก็คงเสียเวลาไล่เลขพักนึงก็ออก

ตอบ 22

จำนวนสี่หลักมีทั้งหมด 4! = 24 จำนวน

จำนวนสี่หลักจะหารด้วย 4 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ 2 หลักท้าย หารด้วย 4 ลงตัว ได้แก่จำนวนที่ลงท้ายด้วย 36, 64, 76 เมื่อไปสร้างเป็นจำนวนสี่หลัก จะได้ 6 จำนวน ได้แก่

4736 , 4-7+3-6 = -6
7436 , 7-4+3-6 = 0
3764 , 3-7+6-4 = -2
7364 , 7-3+6-4 = 6
3476 , 3-4+7-6 = 0
4376 , 4-3+7-6 = 2

ดังนั้นมี 2 จำนวนคือ 7436 และ 3476 ที่หารด้วย 44 ลงตัว

จึงได้ว่าจำนวนที่หารด้วย 44 ไม่ลงตัว มี 24 - 2 = 22 จำนวน

ขอวิธีคิดข้อ 40กับ41ทีสิครับ

ข้อ 41) กำหนดให้ $S_k=1^3+2^3+3^3+...+k^3$ สำหรับ $k=1,2,3,...$ จงหาค่าของ $\lim_{n \to \infty}(\dfrac{1}{\sqrt{S_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{S_2}}+\dfrac{1}{\sqrt{S_3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{S_n}})$
วิธีทำ
จาก $S_k=1^3+2^3+3^3+...+k^3=[\dfrac{k(k+1)}{2}]^2$
ดังนั้น
$$\lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \dfrac{1}{\sqrt{S_i}}=\sum_{i = 1}^{\infty} \dfrac{1}{\sqrt{S_i}}=2\sum_{i = 1}^{\infty}\dfrac{1}{i(i+1)}=2(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...)=2 $$
เพราะ คำตอบคือ 2
ปล.ถูกไหมครับ ช่วย เช็คด้วยนะครับ:happy:

ข้อ 19) กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง และให้ $f$ เป็นฟังก์ชัยพหุนามโดยที่ $f(x)=x^4+2x^3-x^2+ax+b$
ถ้ามีฟังก์ชันพหุนาม $Q(x)$ โดยที่ $f(x)=(Q(x))^2$ จงหาค่าของ $\int_0^1 f(x) dx$
วิธทำ สมมติให้ $Q(x)=x^2+mx+n$
จะได้ว่า $(Q(x))^2=(x^2+mx+n)^2=x^4+2mx^3+(2n+m^2)x^2+2mnx+n^2=f(x)=x^4+2x^3-x^2+ax+b$
นั่นคือ $x^4+2mx^3+(2n+m^2)x^2+2mnx+n^2=x^4+2x^3-x^2+ax+b$
โดยการเทียบ สปส. จะได้ว่า $m=1,n=-1$ ทำให้ได้ว่า $a=-2,b=1$
ดังนั้น $f(x)=x^4+2x^3-x^2-2x+1$ จะได้ว่า
$$\int_0^1 f(x)=\dfrac{x^5}{5}+\dfrac{2x^4}{4}-\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{2x^2}{2}+x+C \Bigg \vert _0^1=\dfrac{11}{30}$$

ข้อ40
พิจารณารูปnในsigmaแล้วcojugateบนล่างด้วย($\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$)($\sqrt[4]{n+1}-\sqrt[4]{n}$)
จะได้ตัวเศษเป็น$\sqrt[4]{n+1}-\sqrt[4]{n}$
แล้วก็take sigmaตั้งแต่1ถึง 9999 จะได้คำตอบเป็น$\sqrt[4]{10^4}-1$=9เป็นคำตอบ

ลองข้อ 43ดูสิ

ขอของ ม.4 ก่อนนะครับ
8. พิจารณา ข้อ ก.
วงกลมนี้มีรัศมี $6$ หน่วย มีจุดศูนย์กลางที่ $(-3,2)$
ระยะห่างระหว่าง$ (-3,2)$ กับ $21x+20y + 168 = 0$
$d = \frac{21(-3) + 20(2)+168}{\sqrt{21^2+20^2} } = 5$
ข้อ ก ผิด
พิจารณาข้อ ข
$y^2+16x-6y = 71 $
$y^2-6y + 9 = -16x+80$
$(y-3)^2 = 4(-4)(x-5)$
$V : (5,3) , F : (1,3)$
ข้อ ข ผิด
ตอบ ข้อ 4

จะบอกว่าคุณ passer-by สุโค้ยครับ:great: เป็น 1 ใน 270 ข้อ ที่อยู่ใน Problems Collection แค่เปลี่ยน 4 เป็น 3 ตอนแรกก็ไม่เชื่อเพราะติวให้คนอื่นที่ไปสอบ ยังพูดเล่นๆว่าน่าเอามาออก PAT หรือของแพทย์ได้ ตอนเค้าสอบเสร็จก็มาบอกตอนนั้นยังไม่เชื่อ มาเห็นข้อสอบถึงเข้าใจนี่เอง ต้องยกความดีนี่ให้คุณ
passer-by ครับ สงสัยตอนจะสอบแพทย์คงมาแห่ขอโจทย์แน่เลย

9. $$[ABCD] = \frac{1}{2}\vmatrix{-2 & 3 \\ 2 & 8\\ 4 & 4 \\ 0 & -3\\ -2 & 3} = 32 $$
ตอบ ข้อ 2

ข้อ 34 $\left|\,\right. AB\left.\,\right| = b-1$
จุดศูนย์กลางของ $ AB$ คือ$ (\frac{b+1}{2},0) $
สมการเส้นตรง $l$ คือ $4x-3y + 4 = 0$
จะได้ว่า ระยะจาก$ (\frac{b+1}{2},0) $ ไปถึง $4x-3y + 4 =0$ คือ$\left|\,\right. 4\frac{(b+1)}{2} + 4 \left|\,\right. = 5b-5$
$b = \frac{-1}{7} , \frac{11}{3}$ แต่ $b>1$ เพราะฉะนั้น $b = \frac{11}{3}$

ข้อ 27)
$2x^2-2x+9-2\sqrt{x^2-x+3}=15$
$2(x^2-x+3)-2\sqrt{x^2-x+3}-12=0$
ให้ $u=\sqrt{x^2-x+3}$ จะได้ว่า $u^2-u-6=0$
นั่นคือ $(u-3)(u+2)=0$ แต่ $u$ มากกว่าหรือเท่ากับ $0$ ดังนั้น $u=3$ เท่านั้น
จะได้ว่า $\sqrt{x^2-x+3}=3$ จะได้ว่า $(x+2)(x-3)=0$ ดังนั้น $x=-2,3$
ผลบวกกำลังสองของคำตอบคือ $(-2)^2+3^2=4+9=13$

ข้อ 7.

Attachment 4586

ให้ $AE=x$

$\therefore BE=2x$

จากสามเหลี่ยม $AEC$

กฎของไซน์ จะได้ว่า $EC=(\sqrt{3}+1)x$

ทำให้ $BC=(3+\sqrt{3})x$

$\therefore \frac{EC}{BC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

ข้อ 30)
จาก $f(n+1)-f(n)=3n+2$ จะได้ว่า
$f(0)-f(1)=3(-1)+2$
$f(-1)-f(-2)=3(-2)+2$
$f(-2)-f(-3)=3(-3)+2$
$.$
$.$
$.$
$f(-99)-f(-100)=3(-100)+2$
จะได้ว่า $f(0)-f(-100)=-3(1+2+3+...+100)+200$
แทนค่า $f(-100)=15000$
จะได้ว่า $f(0)=50$

48. $(1+bi)^3 = 1+3bi - 3b^2 - b^3i = 1-3b^2 +i(3b-b^3)$
เทียบ สัมประสิทธิ์ $1- 3b^2 = -107 , b = 6,-6$
$ \left|\,\right. k\left|\,\right. = 3b-b^3 = 198$

ข้อ 12

จะได้ $ BA = \bmatrix{x+y&x-y\\y+z&y-z} $

จาก $A^{-1}BA = \bmatrix{-2&0\\0&4\\}$

$BA = \bmatrix{1&1\\1&-1\\} \bmatrix{-2&0\\0&4\\} $

$BA = \bmatrix{-2&4\\-2&-4\\}$

$\bmatrix{x+y&x-y\\y+z&y-z} = \bmatrix{-2&4\\-2&-4\\}$

เทียบออกมาได้$ x = 1, y = -3, z = 1$

$\therefore xyz = -3 $ ตอบ 1.

49. ให้ลำดับเรขาคณิตที่เรียงติดกันคือ $a,ar,ar^2$
$(ar)^3 = 343 , ar = 7$
$a+ar+ar^2 = 57 , a(r^2 + 1) = 50 , \frac{7}{r}(r^2+1) = 50 , r = 7,\frac{1}{7}$
$r = 7 , a = 1 , ar = 7 ar^2 = 49$
$r = \frac{1}{7} , a = 49 , ar = 7 , ar^2 = 1$

ค่ามากที่สุดในบรรดาสามจำนวนนี้คือ $49$

ข้อ 24

ได้ $ E = 1$ แน่ๆ

จากนั้นลองกรณีหลักสิบไม่โดนทด จะได้คู่ $6$ และ $4$

ทำให้ได้ $A = 4, B = 3, C = 6, D = 2, G = 5$ พอดีเลย

$A + B = 7$ ข้อ 3. ครับ

ข้อ 47. หา $f(f'(f''(2553)))$

$f(2x+1) = 4x^2 + 14x$

แทน $x $ ด้วย $\frac{x-1}{2}$

จะได้ $f(x) = x^2 + 5x - 6 $ --------1

ดิฟ $f(x)$

$f'(x) = 2x + 5$ --------2

ดิฟ $f'(x)$

$f''(x) = 2$ ---------3

แทน $x = 2553 $ ใน 3

$f''(2553) = 2$

แทน $x = 2$ ใน 2

$f'(2) = 9$

แทน $x = 9$ ใน 1

$\therefore f(9) = (x+6)(x-1) = (15)(8) = 120 $ Ans.

ข้อ 39)
จาก $b_{n+1}=\dfrac{1+b_n}{1-b_n}$ และ $b_1=-3$
จะได้ว่า $b_2=-1/2,b_3=1/3,b_4=2,b_5=-3,b_6=-1/2,...$
สังเกตว่าเริ่มวน 4 ตัววน 1 ครั้ง ดังนั้น $b_{1000}=b_4=2$

Attachment 4587

Attachment 4624

Attachment 4591

Attachment 4590

ข้อที่ 29)
$(3x^2-11x+7)^{(3x^2+4x+1)}=1$
พิจารณากรณี $3x^2+4x+1=0$ จะได้ว่า $(3x+1)(x+1)=0$ นั่นคือ $x=-1/3,-1$
พิจารณากรณี $3x^2-11x+7=1$ จะได้ว่า $(3x-2)(x-3)=0$ นั่นคือ $x=2/3,3$
พิจารณากรณี $3x^2-11x+7=-1$ จะได้ว่า $(3x-8)(x-1)=0$ นั่นคือ $x=8/3,1$ แต่ $x=8/3$ ทำให้สมการไม่เป็นจริง
ดังนั้น $x=-1/3,-1,2/3,3,1$ มีทั้งหมด 5 คำตอบ

ขอบคุณมากครับ สำหรับการแบ่งปันสิ่งดี ๆ

Attachment 4593

Attachment 4594

ข้อ 42) จาก $f(x)=3x-5$ และ $g(x)=2x+1$ จะได้ว่า $f^{-1}(x)=\dfrac{x+5}{3}$ และ $g^{-1}(x)=\dfrac{x-1}{2}$
และ $g^{-1}(f^{-1}(a))=4$ จะได้ว่า $g^{-1}(\dfrac{a+5}{3})=4$ นั่นคือ $\dfrac{\dfrac{a+5}{3}-1}{2}=4$
จะได้ว่า $a=22$ ดังนั้น $f(g(2a))=f(g(44))=f(89)=652$

ข้อ 18 ขอแสดงความทุเรศแล้ว
% MathType!MTEF!2!1!+-

\[\begin{array}{l}
\\
from\quad \frac{{\sqrt {x + 3} - 2}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{\sqrt {x + 3} - 2}}{{\sqrt x - 1}} \cdot \frac{{\sqrt {x + 3} + 2}}{{\sqrt {x + 3} + 2}} \cdot \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 1}}\\
\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt {x + 3} + 2}}\\
x = 1\quad \quad \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} g\left( x \right) = \frac{{\sqrt 1 + 1}}{{\sqrt {1 + 3} + 2}} = \frac{1}{2}\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} g\left( x \right) = \frac{{f\left( 1 \right)}}{{\left| 1 \right| + 7}} = \frac{1}{2}\\
then\quad f\left( 1 \right) = 4\quad \Rightarrow g\left( {f\left( 1 \right)} \right) = g\left( 4 \right) = \frac{{\sqrt {4 + 3} - 2}}{{\sqrt 4 - 1}} = \sqrt 7 - 2
\end{array}\]

ข้อ 6 อีกข้อ ไม่แน่ใจว่ามีคนเฉลยหรือยัง เพราะยังไม่ได้ค้น
% MathType!MTEF!2!1!+-

\[\begin{array}{l}
\\
from\quad T\left( x \right) = \sin x - {\cos ^2}x + {\sin ^3}x - {\cos ^4}x + {\sin ^5}x - {\cos ^6}x + ...\\
\quad \quad \quad \quad \quad \; = \left( {\sin x + {{\sin }^3}x + {{\sin }^5}x + ...} \right) - \left( {{{\cos }^2}x + {{\cos }^4}x + {{\cos }^6}x + ...} \right)\\
Geo.\;Series\quad {S_\infty } = \frac{{{a_1}}}{{1 - r}}\\
then\quad T\left( x \right) = \frac{{\sin x}}{{1 - {{\sin }^2}x}} - \frac{{{{\cos }^2}x}}{{1 - {{\cos }^2}x}}\\
3T\left( {\frac{\pi }{3}} \right)\quad = 3\left( {\frac{{6\sqrt 3 - 1}}{3}} \right)
\end{array}\]

ข้ 7 อีกวิธีนะครับ


Thanks: ฝากรูป

ลากเส้น EF ให้ขนาน AB
% MathType
จะได้ว่า

\[\begin{array}{l}
CEF \sim ABC\\
\frac{{EC}}{{BC}} = \frac{{EF}}{{AB}} = \frac{x}{{\sqrt 3 x}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}
\end{array}\]

Attachment 4601


เอาทั้ง 15 จำนวนมารวมกัน จะได้

$5(a+b+c+d+e+f) = 1470$

$a+b+c+d+e+f = 294$

เนื่องจาก a น้อยที่สุด และ b น้อยรองมา ดังนั้น $a+b = 37$

และ f มากที่สุด e มากรองลงมา ดังนั้น $e+f = 155$

ดังนั้น $(a+b)+c+d+(e+f) = 294$

$(37)+c+d+(155) = 294$

$c+d = 102$


ไม่รู้เป็นการคิดง่ายๆเกินไปแบบประถมๆหรือเปล่า

Attachment 4603

ผลรวมของทั้ง 6 จำนวน เท่ากับ 6 x 8 = 48

ดังนั้น a + b = 26

มัธยฐานเท่ากับ 7 ดังนั้น 6 จำนวนนั้นคือ

2, 3, 6, a, 11, b = 2, 3, 6, 8, 11, 18

|a-b| = |10|


ไม่รู้ถูกหรือเปล่า คิดง่ายๆแบบแบบ ม.ต้นอีกแหละ :haha:

อยากทราบวิธีคิดข้อ 16 กับข้อ 33 ครับ

สนใจ อยากรู้แนวคิด ข้อ 28 จังครับ

รบกวนคุณหยินหยาง หรือ ผู้รู้ท่านอื่นแนะที

เหมือนกับข้อ 35 ของคุณ passer-by เพียงแต่เปลี่ยน 4 เป็น 3 ครับ
http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=10825

ส่วนเฉลยดูเฉลยจากที่นี่ก็ได้ จำไม่ได้ว่าอยู่ในส่วนไหนลองค้นดูครับ
http://www.mathcenter.net/forum/show...t=10825&page=5

ให้แนวคิดไว้เผื่อลิงค์หมดอายุครับ
ให้สังเกตว่าค่าของ $-x^2+7x-10>0$ และค่าของ $\cos (\pi \sqrt{x^2+7}) =1$ ที่เหลือก็ไม่ยากแล้วครับ

ตามคำแนะนำของท่าน สว. ต้องลอกโจทย์มาด้วย



แนวคิดข้อ 16 ก่อน
สังเกตจาก $4a_n =\sum_{k = 1}^{n}(1+\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}) $ ที่เหลือก็คงต่อได้แล้วครับ

ข้อ 45 ทีครับ

ให้ $A = \sin a +\cos a$
$A^2 =1 + 2 \sin a \cos a$
จะได้ว่า $A^2+5A-1.04 = 0$
$A =.... $ แล้วเอาไปแทนค่าก็จบครับ