ช่วยพิสูจน์หน่อยครับ
 

ให้ ABCDEF เป็นหกเหลี่ยมด้านเท่า ที่มี P เป็นจุดภายใน
จงพิสูจน์ว่า $[APB]+[CPD]+[EPF]=[BPC]+[DPE]+[APF]=\frac{1}{2} [ABCDEF]$

ขอบคุณครับ

ไอเดียของผมคือการพิจารณาบนแกนคาร์ทีเชียนครับ โดยไม่เสียนัยทั่วไป ให้ $A,B,C,D,E,F$ คือจุด $\left(\cos(0), \sin(0)\right), \left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) , \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) , ... , \left(\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) , \sin\left(\frac{5\pi}{3}\right)\right)$ ตามลำดับ และ $P$ คือ $(x,y)$ ซึ่งเป็นจุดภายใน ดังนั้นเราจะได้พื้นที่โดยใช้ดีเทอร์มิแนนต์ดังนี้
\begin{align*}[PAB]+[PCD]+[PEF] &= \frac{1}{2}\left(\vmatrix{x & y & 1 \\ \cos(0) & \sin(0) & 1 \\ \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) & \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) & 1} + \vmatrix{x & y & 1 \\ \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) & \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) & 1 \\ \cos\left(\pi\right) & \sin\left(\pi\right) & 1} + \vmatrix{x & y & 1 \\ \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) & \sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) & 1 \\ \cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) & \sin\left(\frac{5\pi}{3}\right) & 1}
\right) \\ &= \frac{3\sqrt{3}}{4} \\&= \frac{1}{2}[ABCDEF]\end{align*}

โจทย์ไม่ได้บอกว่ามุมเท่านะครับ

กรรม! ลืมดูแฮะ ขอโทษครับ เดี๋ยวจะลองเชคอีกทีนะครับ

Edit: เท่าที่เชคดูผมว่าอาจจะต้องมีเงื่อนไขเพิ่มเติมนะครับ ซึ่งผมเดาว่าหกเหลี่ยมจะต้องเป็นหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า ยังไงก็เดี๋ยวรอคุณ Rainy day มาเคลียร์โจทย์ด้วยละกันนะครับ

ผมลืมเองครับ 55555
ขอบคุณมากครับ