อยากทราบแขนงของวิชา NUMBER THEORY ครับ
 

ช่วยชี้แนะเกี่ยวกับแขนงหรือสาขาของวิชานี้ด้วยครับบบ ระดับมหาลัยก็ได้นะครับบบ

เป็นแบบนี้รึปล่าวนา
นิยามระบบจำนวนเต็ม -> การหารลงตัว -> จำนวนเฉพาะ -> คอนกรูเอนซ์ -> สมการไดโอแฟนไทน์

หลักๆก็มี

$\diamondsuit$ Elementary Number Theory

ทฤษฎีจำนวนพื้นฐาน ส่วนใหญ่เป็นเรื่องของจำนวนเต็ม และ ระบบเศษตกค้าง

$\diamondsuit$ Analytic Number Theory

ผสมปนกันหลายระดับ แต่แนวคิดหลักคือการใช้วิชาในกลุ่ม Analysis มาช่วยแก้ปัญหา

$\diamondsuit$ Algebraic Number Theory

ขยายไปยังระบบจำนวนที่ใหญ่ขึ้น เช่น จำนวนตรรกยะ, Gaussian Integers, Subring ของ จำนวนเชิงซ้อน

ถ้าอยากได้แขนงที่เล็กกว่านี้ก็มีอีกเพียบครับ เช่น

- Modular Forms

- Continued Fractions

- Elliptic Curves

ทฤษฎีจำนวนประยุกต์ก็มีอย่างเช่น

- Cryptography เป็นทฤษฎีเกี่ยวกับการเข้ารหัสลับ เอาไปใช้ในพวก ระบบรักษาความปลอดภัยต่างๆ

เช่น รหัส ATM, บัตรเครดิต, ดาวเทียม, โทรศัพท์มือถือ, รวมถึงระบบ password ที่เราใช้ใน internet ด้วยครับ

ขอบคุณมากครับผม

ถามอีกนิดนะครับ

เคยสงสัยว่าความเชื่อมโยง

ของวิชา Algrebra กับ Number theory

ว่ามันเชื่อมโยงกันแค่ไหน

ขอความเห็นหน่อยครับ

ตามความเห็นของผม (ไม่มีความรู้เปิดดูแค่สารบัญ)
พีชคณิตในทฤษฎีจำนวนส่วนมากเท่าที่ผมเห็นจะมี
ทฤษฎีพหุนามต่างๆ บรรดาการพิสูจน์อนุกรม การแก้สมการ(สมการไดโอแฟนไทน์บ้างก็สมการคอนกรูเอนซ์)
คอมบินาทอริกก็น่าจะมี
ทฤษฎีบทวินามครับ

ถ้าเป็นทฤษฎีจำนวนระดับสูงอย่างเช่น

Algebraic Number Theory จะใช้

Abstract Algebra เยอะมากครับ

ถือเป็นความรู้พื้นฐานที่ต้องมีเลยทีเดียว

ในส่วนของ Elementary Number Theory

บางเรื่องกลายเป็นส่วนหนึ่งของ Abstract Algebra

ไปเรียบร้อยแล้วครับ เช่น ระบบเศษตกค้าง จริงๆแล้วมันก็คือ

ring ที่มีชื่อว่า $\mathbb{Z}_n$ นี่้เองครับ

การพิสูจน์ความจริงบางอย่างทาง Elementary Number Theory

อย่างเช่น การหาสูตรทั่วไปของ Pythagorean Triple

ถ้าใช้ความรู้เ้กี่ยวกับ Gaussian integers จะทำให้หาสูตรได้ง่ายขึ้น

การพิสูจน์ Fermat's Last Theorem กรณี $n=3$

คิดว่า Gauss ก็ใช้ Gaussian integers พิสูจน์ครับ

อย่างเรื่องของ Dirichlet's Theorem ที่เ้กี่ยวกับ prime in arithmetic progression

ผมก็เคยเขียนบทพิสูจน์เอา่ไว้ในกระทู้ Number Theory Marathon

ไม่ได้คิดเองแต่เคยทำเป็นการบ้านวิชา Algebraic Number Theory ครับ

ทั้งหมดที่ยกตัวอย่างมาใช้ความรู้ Abstract Algebra ทั้งนั้นครับ :rolleyes:

ซึ้งขึ้นมากเลยครับ

ปลายทางของ Number Theory

มีเนื้อหาของวิชาใดที่ครอบคุม หรือ

กล่าวได้ว่าเป็น Number Theory เป็น สับเซต ของสาขาวิชาใด หรือเปล่าครับ

เรื่องนี้แอบสงสัยมานานแล้วครับ แต่ความรู้ตอนนี้ทำให้ยังไม่ทราบได้ครับ

เพื่อที่จะเข้าถึงวิชานี้ได้ในระดับหนึ่งครับ

ถ้าเรียนสูงขึ้นจะพบว่าไม่มีวิชาใดในคณิตศาสตร์ที่แยกตัวออกไปจากวิชาอื่นครับ

หลายวิชาเกี่ยวโยงกัน ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง

และผมกลับมองว่าทฤษฎีจำนวนนี่แหละคือศูนย์กลางของโลกคณิตศาสตร์

(ตอนนี้อาจจะไม่จริงทั้งหมดเพราะโลกคณิตศาสตร์กำลังขยายตัวใหญ่ขึ้นเรื่อยๆ)

Gauss เคยกล่าวไว้ว่า

Mathematics is the queen of science.

Number theory is the queen of mathematics.

ผมก็ว่ายังไม่ล้าสมัย

ในช่วงร้อยปีที่ผ่านมา

นักคณิตศาสตร์สร้างวิชาใหม่ๆขึ้นมามากมายเพื่อใช้ตอบคำถามในทฤษฎีจำนวน

ตัวอย่างที่เห็นได้ชัดที่สุดคือ Fermat's Last Theorem ที่พิสูจน์โดย Andrew Wiles

เขาใช้ Elliptic curve พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ครับ ซึ่งเป็นการพิสูจน์ทางอ้อม

จริงๆแล้วสิ่งที่ Andrew Wiles พิสูจน์นั้นเป็นความจริงใน Elliptic curve เท่านั้นครับ

ต้องยกเครดิตให้กับนักคณิตศาสตร์ชาวญี่ปุ่นสองคนคือ Shimura และ Taniyama

ที่ช่วยกันตั้ง Taniyama-Shimura conjecture ซึ่งเกี่ยวกับ elliptic curve เอาไว้

และตอนหลังมีการเชื่อมโยง conjecture นี้ไปยัง Fermat's Last Theorem

และ Andrew Wiles ก็พิสูจน์ได้ในที่สุด

อีกตัวอย่างหนึ่งคือ ปัญหาเกี่ยวกับ arithmetic progression in prime numbers ซึ่งกล่าวว่า

แต่ละจำนวนนับ $n$ จะมีลำดับเลขคณิตของจำนวนเฉพาะที่มีความยาว $n$

ซึ่งพิสูจน์โดย Terence Tao และ Ben Green

(ก่อนที่สองคนนี้จะพิสูจน์ได้ มันคือ conjecture ที่ตั้งขึ้นโดย Paul Erdos ครับ)

พวกเขาใช้วิชา Probability Theory มาพิสูจน์ข้อความนี้ครับ

ซึ่งแทบจะไม่เหลือเค้าโครงของทฤษฎีจำนวนที่เรารู้จักอยู่เลย

สองตัวอย่างนี้เป็นแค่เศษเสี้ยวของความรู้ที่หลั่งไหลจากวิชาอื่น

เข้าไปยังโลกของทฤษฎีจำนวนเท่านั้นครับ

มีอยู่ช่วงหนึ่งผมเคยคุยสนุกๆ กับเพื่อนๆ

ใน เรื่องของ Theory of everything ในทางคณิตศาสตร์

สักวันหนึ่งมันน่าจะมีโอกาศเป็นไปได้หรือไม่ที่จะมี สมการ หรือ อะไรก็ตาม

เพียงไม่กี่สมการ หรืออาจมากกว่านั้น ที่สามารถอธิบายแขนงต่างๆ ของคณิตศาสตร์ได้ครอบครุม

แต่ในใจผม ผมก็แอบมองๆ ว่า เรามีเพียง นิยาม เพียงไม่กี่ 10 กี่ 100 กี่ 1000 อันก็ทำมาหากินได้มากมายแล้ว

ผมเลยอยากทราบความเห็นของ คนรักคณิตศาสตร์ ด้วยกันกันว่าคิดเห็นไงกับเรื่องนี้ครับ




(คิดในใจนะครับ คณิตศาสตร์ มันไม่จบเคยนี้หรอก "ความสวยงามอยู่หนใด อยู่ที่ใครจะพบเจอ" ต่างหากละ)

ผมว่าถึงจะคิดได้ก็คงใช้งานได้ยากอยู่ดี กว่าจะแทนค่าใส่เงื่อนไขจนครบได้แก่ตายกันพอดี :laugh:

ขนาดสูตรหา determinant ที่นิยามโดยใช้ permutation จะเอามาใช้งานก็คิดแล้วคิดอีก

ขอบคุณมากๆ ครับ

:laugh:

ไอสไตน์เคยพยายามทำนะครับ
เขาคิดว่าในโลกนี้ น่าจะมีสมการที่ใส่ตัวแปรอันได้แก่ตำแหน่งที่ตั้ง บุคคล และเวลาในทุกมิติ
ลงในสมการพระเจ้า
แล้วจะบอก อดีต ปัจจุบัน และอนาคตได้ทั้งหมดของคนคนนั้นเลย
แต่สุดท้ายพอไอสไตน์ตาย สมการนี้ไอสไตน์ก็หาไม่ได้ (อันที่จริงคงเพราะ ไอสไตน์ไม่รู้จัก กฎแห่งกรรม :laugh:

ปล. "โอกาศ" เขียนผิดครับ