[TMO 8] สมการเชิงฟังก์ชัน งงวิธีทำในเฉลยครับ
 

โจทย์คร่าวๆคือ $f(m+f(n)) = f(m) + f(n) + f(n+1) $ มีฟังก์ชันสำหรับทุกจำนวนนับ m และ n หรือไม่

เมื่อแทน m = 1, n = 1 + f(p) ในโจทย์

$f(1 + f(1 + f(p))) = f(1+f(1)+f(p)+f(p+1)) = f(1+f(1)+f(p)+f(p+1)+f(p+2))$

เป็นโจทย์สำหรับ TMO ครั้ง8 อ่ีะครับ ไม่เข้าใจขั้นตอนท้าย เลยไปต่อไม่ได้ครับ


ฝากช่วยชี้แนะครับ ขอบคุณครับ

ตรงในส่วนที่เป็น สมการหมายเลข 3 อ่ะครับ รบกวนผู้รู้ช่วยชี้แนะครับ ขอบคุณครับ

มันคือการเขียนข้างซ้า่ยของสมการโจทย์ออกมาให้เป็นข้างขวา โดยเริ่มจาก $f(1+f(1+f(p)))$
มองจากข้างในออกมาก่อน $1+f(1+f(p))=1+f(1)+f(p)+f(p+1)$ (มอง $m$ เป็น $1$ และ $n$ เป็น $p+1$)
ทำแบบนี้ซ้ำๆกันจนสมการเขียนออกมาในรูป $f(1)$ $f(p)$ กับ $f(p+1)$ เพื่อใช้ประโยชน์จากฟังก์ชันคาบมาพิสูจน์ขัดแย้ง

ฝากไปคิดนะครับ รู้ได้ยังไงว่าต้องแทน $m=1$ และ $n=1+f(p)$ และรู้ได้ยังไงว่าเป็นฟังก์ชันคาบ ???