ข้อสอบสิรินธร ม.ต้น 2557 14 ธ.ค. 57
 

Attachment 17002

Attachment 17003

Attachment 17004

Attachment 17005

Attachment 17006

Attachment 17007

Attachment 17008

Attachment 17009

Attachment 17010

Attachment 17011

Attachment 17012

Attachment 17013

Attachment 17014

Attachment 17015

Attachment 17016

Attachment 17017

Attachment 17018

Attachment 17019

Attachment 17020

Attachment 17021

Attachment 17022

Attachment 17023

Attachment 17024

Attachment 17025

Attachment 17026

Attachment 17027

ช่วยกันเฉลยหน่อยครับ

ตอนที่ 1.

1. $3^3 \times (-2)^4 = 432$

2. $a_n = \frac{1}{4}(\sqrt{(n+1)^2+n^2} - \sqrt{n^2+(n-1)^2}) $
$ \therefore s_{119} = \frac{1}{4}(\sqrt{120^2 + 119^2} - \sqrt{1^2+0^2}) = \frac{1}{4}(169-1) = 42$

5)

$$7^a = 17,640,000$$

$$7^a = 7^2 \cdot 24^2 \cdot 25^2$$

จาก

$$7^a = 24^b \Rightarrow 7^{\frac{a}{b}} = 24$$

$$7^a = 25^c \Rightarrow 7^{\frac{a}{c}} = 25$$

แทนค่า

$$7^a = 7^2 \cdot 7^{\frac{2a}{b}} \cdot 7^{\frac{2a}{c}}$$

$$7^a = 7^{2(1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c})}$$

$$a = 2(1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c})$$

$$\frac{1}{2} = \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$

6)

$$\frac{a^{6x}+a^{-6x}}{a^{2x}+a^{-2x}}$$

$$\frac{(a^{2x})^3+(a^{-2x})^3}{a^{2x}+a^{-2x}}$$

$$\frac{(a^{2x}+a^{-2x})(a^{4x}-1+a^{-4x})}{a^{2x}+a^{-2x}}$$

$$a^{4x}+a^{-4x} -1$$

จาก

$$ a^{4x} = \sqrt{97-7\sqrt{192} } $$

$$\sqrt{49-2\sqrt{49}\sqrt{48} +48 } $$

$$7-\sqrt{48} $$

แทนค่า

$$7-\sqrt{48} + \frac{1}{7-\sqrt{48}} -1 $$


$$7-\sqrt{48} + \frac{1}{7-\sqrt{48}}\cdot \frac{7+\sqrt{48}}{7+\sqrt{48}} -1 $$

$$7-\sqrt{48} + 7+\sqrt{48} -1 $$

$$13$$

7)

$$\frac{n^3+25}{n+5}= I$$

$$\frac{n^3+125-100}{n+5}= I$$

$$\frac{n^3+5^3}{n+5} - \frac{100}{n+5}= I$$

$$(n^2-5n+25) - \frac{100}{n+5}= I$$

$$\therefore n = 95$$

ห.ร.ม. ของ$101-66, 157-101, 157-66$ เท่ากับ $7 \Rightarrow m = 7$

$$m \times n = 95 \times 7 = 5 \times 7\times 19$$

ผลบวกจำนวนนับที่หาร $5 \times 7\times 19$ ลงตัว เท่ากับ

$$(1+5)(1+7)(1+19) = 960$$

ข้อ 22
ให้ $a,b,c$ เป็นรากทั้งสามของสมการ $x^3-64x-14=0$

$a+b+c=0$
$ab+bc+ca=-64$
$abc=14$

$(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b+c)(ab+bc+ca)-3abc$
$0=a^3+b^3+c^3+0-3(14)$
$a^3+b^3+c^3=42$

ข้อ $12$ ตอน $2$
Attachment 17100
ให้ $AE=x$

จะได้ว่า $\bigtriangleup AHD \cong \bigtriangleup BEA$

ดังนั้น $BE=AH=x+1$

พิจารณา สามเหลี่ยม $BEA$

ได้ $x^2+(x+1)^2=25$

$x>0$

$\therefore x=3$

ตอนที่ 1 ข้อ 20
สมมติ $a, b, c, d$ เป็นรากของสมการนี้จะได้
$a+b+c+d = 3$,
$ab + ac + ad + bc + bd + cd = -6$,
$abc + bcd + cda + dab = 5$
$abcd = 9$
พิจารณา abcd ที่ $>0$
ดังนั้นต้องมีจำนวนลบเป็นเลขคู่
พิจารณา $ab + ac + ad + bc + bd + cd = -6$
สมมติ $a, b, c, d > 0$ ดังนั้น $ab + ac + ad + bc + bd + cd > 0$ ขัดแย้ง
ดังนั้นจึงมี 2 คำตอบเป็นจำนวนลบที่แตกต่างกัน $\blacksquare$

ตอนที่ 2 ข้อ 6
จาก $5^{0.301} = 2^{0.699}$
นำ $2^{0.301}$ คูณตลอด จะได้
$10^{0.301} = 2$
ดังนั้น $1024^{100} = 2^{1000} = 10^{301}$
ดังนั้นจำนวนนี้จึงมี $302$ หลัก...ข้อนี้ผมเล่นใช้ $log$ แล้วลืมบวกเลข 1 ข้างหน้า เลยเสียไปเลย :cry:

ตอนที่ 2 ข้อ 16
หาจุดตัดแกน $x$ จะได้ $(k, 0), (-k, 0)$
โดยจุดยอดของกราฟนี้คือ $k^{2}$
ดังนั้นเส้นรอบรูปคือ $2k^{2} + 4k = 48$
แก้สมการออกมาได้ $k > 0$, $k = 4 \blacksquare$

ข้อ 20 ครับ

$x^4-3x^3-6x^2-5x+9=0$

$(x^2-3)^2-x(3x^2+5)=0$

$(x^2-3)^2=x(3x^2+5)$

ภายใต้จำนวนจริง วงเล็บสองข้างเป็นบวกเสมอ ไม่น่าจะมี$ x $ที่เป็นลบที่ทำให้ทั้งสองข้างเท่ากันหรือเปล่าครับ