ขอแนวทางการแสดงหน่อยค่ะ
 

1.จงแสดงว่า ห.ร.ม.ของ $\frac{a^n-1}{a-1}$,a-1 เท่ากับ ห.ร.ม.ของ a-1 , n เมื่อ n และ a เป็นจำนวนเต็มบวก และ a ไม่เท่ากับ 1

2. จงหา(m, n) ที่สอดคล้องกับ m^3 +n^3 = (m+n)^2

ข้อนี้ใช้สมบัติว่า $\gcd(a,b)=\gcd(a-nb,b)$ ครับ (โดย $n$ เป็น จน.เต็ม)
เเล้ลวก็ $\dfrac{a^n-1}{a-1}=a^{n-1}+a^{n-2}+...+1$ เมื่อ $a>1$

ขอเดาว่า$m,n\in \mathbf{N}$ นะครับ
$m^3+n^3=(m+n)^2$
$m^2-mn+n^2=m+n$
$n^2-(1+m)n+(m^2-m)=0$
ใช้พีชคณิตหาคำตอบของ$n$ในเทอมของ$m$ ได้เป็น
$n=\frac{1}{2} (m+1\pm \sqrt{-3m^2+6m+1} )$
จะได้ว่า $-3m^2+6m+1\geqslant 0$
$0\geqslant 3m^2-6m-1$
$4\geqslant 3(m-1)^2$
$\frac{4}{3} \geqslant (m-1)^2$
$m-1\leqslant \sqrt{\frac{4}{3} } <2$
$m<3$ เนื่องจาก $m\in \mathbf{N} $ จะได้คำตอบของ$m=1,2$เท่านั้น แทนค่า
ได้ $(m,n)=(1,2),(2,1),(2,2)