จากสมการ $x^2+y^2=z^3$
โดยใช้เอกลักษณ์พีชคณิต อยากทราบที่มาที่ไปว่า
ทำไมถึงได้
$(u(u^2-3u^2))^2+(v(3u^2-v^2))^2=(u^2+v^2)^3$ ค่ะ

จากสมการ $x^2+y^2=z^3$
โดยใช้เอกลักษณ์ทางพีชคณิตอยากทราบว่าทำไมถึงได้เป็น
$(u(u^2-3v^2))^2+(v(3u^2-v^2))^2=(u^2+v^2)^3$ ค่ะ

งง อะครับต้องการอะไร

ถ้าหากว่าตั้งโจทย์ใหม่เป็น

จงหาพร้อมพิสูจน์ว่าสมการ $a^2+b^2=c^3$ มีคำตอบหรือไม่

ถ้าไม่มีจงพิสูจน์ ถ้ามีจงหาคำตอบที่เป็นไปได้ทั้งหมด

...จะทำยังไง...

เอกลักษณ์ตัวนี้ถ้าไม่เคยเห็นมาก่อนแล้วเจอโจทย์ถามแบบข้างบนไป

มันก็ยากนะที่จะนึกให้ออก แต่มันพอเดาได้ครับ

เจ้าของกระทู้ เขาอยากรู้ที่มาของเอกลักษณ์ตัวนี้ หรือวิธีสร้างเอกลักษณ์ที่เข้าใจง่ายๆ

ลองอธิบายให้เขาฟังสิครับ ว่าถ้าจะสร้างเอกลักษณ์ตัวนี้ต้องทำยังไงบ้าง

ถ้า $x^2+y^2=z^3$ มีคำตอบ เเล้วไม่จำเป็นต้องอยู่ใน form ข้างต้นเสมอไปอะครับ เช่น $58^2+145^2=29^3$

ใช่ครับ เอกลักษณ์ที่เขาถามมันไม่ได้ cover คำตอบที่เป็นไปได้ทั้งหมด

เขาถามแค่ว่ามันมีที่มาที่ไปยังไงต่างหาก ผมแค่ยกตัวอย่างเฉยๆ

เพื่อที่ว่าจะได้มีใครสักคนที่อธิบายให้เขาเข้าใจง่ายๆ ก็แค่นั้น

Attachment 19041

พอดีทำสัมมนาเรื่องนี้ค่ะ แต่ติดหาที่มาของสมการยังไม่ได้ เลยอยากทราบว่า
จากสมการ $x^2+y^2=z^3$
มาเป็นสมการ $(u(u^2-3v^2))^2+v(3u^2-v^2))^2=(u^2+v^2)^3$ ได้ยังไงค่ะรบกวนช่วยหน่อยน่ะค่ะ

มันมาจากการเสกเอานั่นเองครับ ไปนั่งทางในเจอเอกลักษณ์ตัวนี้มาก็เลยเอามาแสดงให้ดู

จุดประสงค์จริงๆคือจะบอกว่าสมการนี้มีคำตอบเป็นจำนวนอนันต์ครับ

ซึ่งไม่จำเป็นต้องแสดงตามนี้ก็ได้เช่นบอกว่าเพราะ

$(2t^3)^2+(2t^3)^2=(2t^2)^3$

ทุกจำนวนเต็มบวก $t$

ดังนั้นสมการ $x^2+y^2=z^3$ มีคำตอบเป็นจำนวนอนันต์

เขาจะเอาให้ $\gcd (x,y) =1$ ด้วยนะครับ

ขอบคุณมากค่ะ ขอถามเพิ่มเติมน่ะค่ะ
แล้วถ้าเป็นโจทย์แบบนี้ แล้วเราจะหาค่า $x,y$ ยังไงค่ะ
เพราะลองเอาค่า $u=2,v=1$ แทนใน $x_1,y_1,z_1$ และ $x_2,y_2,z_2$ แล้วแต่คำตอบไม่ตรงกับเฉลย
ตอนแรกคิดว่าเฉลยผิดแต่พอตรวจคำตอบดูแล้วเฉลยไม่ได้ผิดค่ะ
สมการ$(11)$ คือ $ax^2+by^2={z^3}^n$
Attachment 19042

มาเพิ่มตรงส่วนคำถามแรกให้นะ เอาไว้ประกอบ detail ของสัมมนา

ที่ถามว่า $a^2+b^2=c^3$ แล้วมาเป็นเอกลักษณ์นั้นได้ไง

point ของมันก็เป็นไปตามที่ความเห็นบนบอกนั่นแหละครับ

คือมันพยายามโชว์ว่า solution มีมากมายไม่จำกัด (infinitely many solutions)

ซึ่งข้อสังเกตของความเห็นบนก็เพียงพอที่จะแสดง point นี้

แต่ถ้าหากอยากได้ด้วยว่า $(u,v)=1$ ก็ต้องสร้างเอกลักษณ์ขึ้นมาให้ match กับเงื่อนไขนี้ด้วย

--------------------------------------------------------------

ต่อมาผมจะโชว์ให้เห็นว่าจาก $a^2+b^2=c^3$ เพียวๆมัน build เอกลักษณ์ออกมายังไง

ให้ลองสังเกตจากเลขชี้กำลังดูก่อน คือมันมี 2 กับ 3 ถูกป่าว และมโนคติเบื้องต้นอย่างเป็นรูปธรรม

ของสมการนี้คือ มันต้อง build เอกลักษณ์ของตัวแปรอื่นๆ (เช่น $u,v$) ให้กำลังสองของอะไรสักอย่าง

บวกกันแล้วได้กำลังสามของอีกตัว ถูกไหม แต่เราไม่รู้ว่าไส้ใน $a,b,c$ มันควรมีอะไร และมีตัวแปรกี่ตัว

ถ้าเป็นตัวเดียวก็จะคล้ายๆของคุณ nooonuii *** เพราะงั้นก็ลองนึกเป็น 2 ตัวแปรดูก่อน

ก็เลยควรเดาไปก่อนเลยว่าเป็น 2 ตัวแปร ต่อมามาลองดูเลขชี้กำลัง มันมี 2 กับ 3 นิพจน์ในการกระจายมันจะเท่ากันได้

มันควรมีเลขชี้กำลังตอนกระจายออกมาแล้วเท่ากัน เพราะงั้นข้างในไส้ของกำลัง 2 ด้านซ้ายควรมี 3

และข้างในไส้กำลัง 3 ด้านขวาควรมี 2 เพื่อที่ว่ามันคูณกระจายออกมาแล้วได้กำลัง 6 ถูกป่าว

จากนั้นก็ใช้ข้อสังเกตนี้นี่แหละ build เอกลักษณ์ (เรามีสูตรกำลังสองกับสามอะไรบ้างนึกดู)

เรามี $(u-v)^3,(u+v)^3$ อยู่นิ และเราต้องการกำลัง 6 ที่สามารถจะดัดได้ง่ายๆถูกไหม

เพราะงั้นก็เลือกเป็น $(u^2-v^2)^3$ มาดู และสังเกตเพิ่มด้วยว่า $(u^2-v^2)^3=-(v^2-u^2)^3$

จะได้เป็น $(u^2-v^2)^3+(v^2-u^2)^3=0$ ที่ต้องใช้แบบนี้เพราะเราต้องการดัดเอกลักษณ์โดยใช้สมมาตรที่บวกกันเป็น 0 ทางฝั่งขวา

เพื่อที่ว่าเราจะสามารถย้ายบางเทอมหรือบวกบางเทอมจากการกระจายฝั่งซ้ายไปฝั่งขวา แล้วได้อะไรซักอย่างกำลังสามพอดี

และหวังว่าค่าที่เหลือจากทางฝั่งซ้ายมันจะ match กับอะไรซักอย่างที่เป็นกำลังสองบวกกัน

กระจายออก $u^6-3u^4v^2+3u^2v^4-v^6+v^6-3v^4u^2+3v^2u^4-u^6=0$

จากนี้สังเกตว่า จัดให้เป็นกำลังสองสองก้อนบวกกัน ยากกว่า จัดให้เป็นกำลังสามก้อนเดียว

เพราะงั้นเริ่มจากย้ายตัวที่น่าจะเป็นกำลังสามไปทางขวาก่อนคือ $-u^6,-v^6$

แล้วมองให้เป็นกำลังสามให้ได้ บวกเทอมที่เหลือคือ $3u^4v^2+3u^2v^4$ เข้าไป

$u^6-3u^4v^2+3u^2v^4+v^6-3v^4u^2+3v^2u^4+3u^4v^2+3u^2v^4=u^6+v^6+3u^4v^2+3u^2v^4=(u^2+v^2)^3$ ---(***)

ทีนี้ฝั่งขวามันจะรวบเป็นกำลังสามได้ตามแผนละ ถูกป่าว เหลือแต่บีบทางฝั่งซ้ายให้หลุดเป็นกำลังสองบวกกันให้ได้

จากนี้ถ้าเรารีบไปตัดทอนผลลัพธ์สุดท้ายของฝั่งซ้าย มันจะเหลือแต่พจน์ที่เป็นค่าบวกซึ่งจัดกำลังสองบวกกันแล้วมองยาก

เลยเหลือเป็นค่าลบไว้ $u^6-3u^4v^2+3u^2v^4+v^6-3v^4u^2+3v^2u^4+3u^4v^2+3u^2v^4$

ตรงนี้มันจะมองได้ไม่ยากมากให้เป็นกำลังสองสองตัวบวกกันจากการดูเลขชี้กำลังที่โชว์อยู่

เลือกจากที่ obvious สุดก่อน คือ $u^6,v^6$ มันต้องเป็นกำลังสองสองตัวบวกกัน เพราะงั้นต้องมองเป็น $(u^3)^2,(v^3)^2$

แล้วเอาไปโยงกับเอกลักษณ์ที่เรารู้จักกันดี $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$ มอง $x,y$ ให้ออกให้ได้

เลือกไปจับกับ $u^6-3u^4v^2$ (ทำไม?...) เพราะมันมองเป็น $(u^3)^2-2(u^3)(3uv^2)+(3uv^2)^2$ ซึ่งเลขชี้กำลังมัน force ให้เป็นกำลังสองได้พอดี

จัดได้เป็น $u^6-3u^4v^2=(u^3)^2-2(u^3)(3uv^2)+(3uv^2)^2+3u^4v^2-9u^2v^4$ แค่บวกเข้าตัดออกธรรมดาๆ

เหลือแค่เชคดูว่าผลลัพธ์สุดท้ายมันตัดทอนกันหมดเหลือแค่กำลังสองของอะไรสักอย่างบวกกันไหม

เวลาเชคเขียนแยกเป็นแบบนี้น่าจะเชคง่ายขึ้นครับ

$u^6-3u^4v^2=(u^3-3uv^2)^2+3u^4v^2-9u^2v^4$
$v^6-3v^4u^2=(v^3-3vu^2)^2+3v^4u^2-9v^2u^4$

จับสองอันบนบวกกันแล้วบวกเทอมอื่นๆที่เหลือจาก (***) ก็จบแล้ว มันจะตัดกันหมด

เหลือเป็น $(u^3-3uv^2)^2+(v^3-3vu^2)^2=(u^2+v^2)^3$ ก็เท่านั้นเอง ไม่ยากใช่มั้ย

ตรง *** มันมีเอกลักษ์แบบตัวแปรเดียวอยู่ด้วยคือ $(t^3-3t)^2+(3t^2-1)^2=(t^2+1)^3$ คือแทน $v=1$ นี่แหละ

แต่การสร้างแบบนี้ ผมว่ามองไม่ยากไม่ง่ายไปกว่าการมองแบบสองตัวแปรอีกนะ เพราะมันไม่มีอุปกรณ์ช่วย deduct เท่าไร

ปล. ประเด็นอื่นๆเดี๋ยวมามีเวลามาช่วยให้ครับ :laugh:

อ๋อเข้าใจแล้วค่ะละเอียดมาก ขอบคุณมากน่ะค่ะ
ถ้าว่างๆยังไงรบกวนช่วยอธิบายอีกข้อให้ด้วยน่ะค่ะ

ลองทดให้ดูแล้วครับ เอาที่ถามมาก่อนนะครับ ว่าทำไมได้ $x,y,z$ ไม่ตรง

สำหรับ theorem 1 ผลเฉลยจะหาจากการกำหนดค่า $u,v$ กับ $n$ ก่อนครับ

$x,y$ มันจะได้มาจากการหาค่า $(x_{n},y_{n},z_{1})$ เท่านั้นครับ

$x,y,z$ ที่เป็นผลเฉลยขึ้นเฉพาะกับ $u,v$ และ $n$ แต่จะหยุดหา $x,y$ ที่กี่ขั้น ต้องดูที่ค่า $n$ เอา

ตรงสมการ (21) $x^2+y^2=z^9$ มันคือ special case ที่มี $n=2$ ครับ

หมายความว่า solution จะหาได้จาก $(x_{2},y_{2},z_{1})$ เท่านั้นเอง

ถ้าเป็นแบบนี้ก็จะหมายความว่า หา 2 ขั้น คือขั้นแรกกำหนด $u,v$ ขึ้นมาก่อน จะได้ $x_{1},y_{1},z_{1}$

ขึ้นที่สองเอา $x_{1},y_{1}$ ที่ได้ไปหา $x_{2},y_{2}$ (ส่วนเงื่อนไขของ $u,v$ เป็นไปตามที่เห็นใน paper)

ให้ $u=2 , v=1$ จะหา $x_{1},y_{1},z_{1}$ ได้เป็น $2,11,5$ ครับ (ตามลำดับเลย แค่ใช้ (22) ใน paper แทนตรงๆ)

จากนั้นเอา $x_{1}=2,y_{1}=11$ แทนใน $x_{2},y_{2}$ ใน (23) จะได้ $x_{2}=-718$ กับ $y_{2}=-1199$

ส่วน $z_{1}=2^2+1^2=5$ จะเหมือนเดิมตลอด (สำหรับ $x_{2},y_{2}$ ที่ติด $u,v$ ใน (23) ไม่ต้องเอา $u,v$ มาแทนตรงนี้นะครับ มันยุ่งยาก... )

$z$ อื่นๆ ไม่ต้องไปยุ่งกับมันครับ $z$ กำหนดแค่ $z_{1}=u^2+v^2$ แล้วใช้ตัวนี้ไปตลอด
ลองกลับไปดู theorem 1 ดู มันจะเป็น $z_{1}$ ตลอด

การเขียนแบบนี้ $(x,y,z)=(x_{n}(u,v),y_{n}(u,v),z_{1}(u,v))$ หมายความว่า

คู่อันดับที่เป็นผลเฉลยในฝั่งซ้าย ได้มาจาก คู่อันดับที่เป็นผลเฉลยในฝั่งขวาโดยขึ้นกับ $u,v$ ที่กำหนดเริ่มต้น

และจำนวนครั้งของการคำนวณ $n$ ครับ ยกตัวอย่างเพิ่มให้ใน case ที่ $n=3$ นะ

ถ้าให้เป็น $a,b$ เป็น $1,1$ เหมือนเดิมจะได้ $x^2+y^2=z^{27}$ เลือก $(u,v)=(2,1)$ เหมือนเดิม

จะได้ $z_{1}=5$ เหมือนเดิม ส่วน $x_{1},y_{1}$ และ $x_{2},y_{2}$ จะเป็นค่าเดิมเลยคือ

$2,11$ กับ $-718,-1199$ ส่วน $x_{3},y_{3}$ ก็แค่หาจาก

$x_{3}=x_{2}(x_{2}^2-3y_{2}^2)$ กับ $y_{3}=y_{2}(3x_{2}^2-y_{2}^2)$ แล้วก็สังเกตด้วยว่า เครื่องหมายหรือการสลับ $x,y$ มันไม่ fix ครับ

เช่นใน paper บอก $x=1199 ,y=718$ ไม่ตรงกับที่ผมหาออกมาเป็น $-718,-1199$

แต่เวลามันแทนแล้วมันสอดคล้อง $x^2+y^2=z^9$ ก็พอ

ที่เป็นแบบนี้เพราะมันเป็นกำลังสอง จะแทนกลับกันหรือใส่เครื่องหมายลบก็ได้ครับ

ส่วน case นี้ $n=3$ ก็จะได้เป็น $(-2726446322)^2+(130656229)^2=5^{27}$

สังเกตว่าสับเลขหรือใส่ลบ กำลังสองคำนวณออกมาจะเหมือนเดิม มันไม่ fix ครับ

ปล. paper นี้ไม่ยากครับ ใช้ความรู้ไม่หวือหวามาก แต่ต้องใช้การสังเกตกับทักษะหน่อยครับ

ถ้าติดลองทดมือดูเองก่อนครับ กำหนดตัวเลขเล็กๆลงไปก่อนก็ได้ สู้ๆนะครับ

ขอบคุณมากค่ะ:)