เหลือข้อ 15 ทำไม่ได้ครับ


รู้แต่ว่า เลขท้ายของ 9 ยกกำลัง เป็น 1 กับ 9

$9^1 $ ลงท้ายด้วย 9
$9^2 $ ลงท้ายด้วย 1
$9^3 $ ลงท้ายด้วย 9
$9^4 $ ลงท้ายด้วย 1

ถ้าให้เดาในห้องสอบ 2009(ตัว) เป็นเลขคี่ ตอบว่าเลขโดดในหลักหน่วยคือ 9 :D

(เอาอย่างนี้แหละ) :haha:

ไม่ชัวนะครับ
เลข $9$ เนี่ย ยกกำลังสองแล้วหลักหน่วยวนได้ $2$ อย่างคือถ้า เลขชี้กำลังเป็นเลขคู่ ลง$1$ เลขคี่ลง$9$
ต่อมาก็หาว่า $2009^{2009^{2009^{2009^{.^{.^{.}}}}}}$ หาร $2$ เหลือเศษเท่าไหร่
ให้ $2009^{2009^{2009^{2009^{.^{.^{.}}}}}}=a$ จะได้
$2009^a=(2008+1)^a$
แล้วยัดทวินามจะได้ว่า มันเป็นเลขคี่
ดังนั้น เลขหลักหน่วยคือ $9$

ทำไมต้องหาร $2$ หรือครับ

เพราะการวนของหลักหน่วยมันมี 2 ตัวอ่ะครับ
ถ้าหารด้วย 2 ลงตัว จะลงที่ 1 แต่ถ้าไม่ลง จะลงที่ 9 อ่ะ

การแสดงว่า $1\cdot 2\cdot 3 + 2\cdot 3\cdot 4 + 3\cdot 4\cdot 5 +.... + n(n+1)(n+2) = n(n+1)(n+2)(\dfrac{(n+3)}{4})$


ให้ $P(n)$ แทนข้อความ $1\cdot 2\cdot 3 + 2\cdot 3\cdot 4 + 3\cdot 4\cdot 5 +.... + n(n+1)(n+2) = n(n+1)(n+2)(\dfrac{(n+3)}{4})$

(1) การแสดงว่า $P(1)$ เป็นจริง

เพราะว่า $1\cdot 2\cdot 3 = 6 = \dfrac{(1)(1+1)(1+2)(1+3)}{4}$

เพราะฉะนั้น P(1) เป็นจริง

(2) สมมุติให้ $P(k)$ เป็นจริง ดังนั้น

$1\cdot 2\cdot 3 + 2\cdot 3\cdot 4 + 3\cdot 4\cdot 5 +.... + k(k+1)(k+2) = k(k+1)(k+2)(\dfrac{(k+3)}{4})$


เพราะว่า $ \ \ 1\cdot 2\cdot 3 + 2\cdot 3\cdot 4 + 3\cdot 4\cdot 5 +.... + k(k+1)(k+2) +(k+1)(k+2)(k+3)$

$ \ \ \ = \dfrac{(k+1)(k+2)(k+3)}{4} + (k+1)(k+2)(k+3)$

$ \ \ \ = (k+1)(k+2)(k+3)[\dfrac{k}{4} + 1]$

$ \ \ \ = \dfrac{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4}$

เพราะฉะนั้น $P(k+1)$ เป็นจริง

สรุปโดยหลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์จะได้ว่า $P(n) $ เป็นจริงทุกค่า n

ดังนั้น $ \ \ \ 1\cdot 2\cdot 3 + 2\cdot 3\cdot 4 + 3\cdot 4\cdot 5 +.... + n(n+1)(n+2) = n(n+1)(n+2)(\dfrac{(n+3)}{4})$

มีแบบที่ไม่ใช้ induction ไหมครับ

.pdf
โจทย์-sol.

http://www.scribd.com/share/upload/1...lqa410uxav35ez

แหม อุตส่าห์ลอกเขามาให้ แล้วยังไม่เอา :haha:

เอาใหม่ ไม่รู้จะใช้ได้หรือเปล่า

กำหนดให้
ผลรวมของ $ i_{(1ถึงn)} = 1+2+3+4+.....+ n = \frac{1}{2}n(n+1)$

ผลรวมของ $ i^2 _{(1^2ถึงn^2)}= 1^2+2^2+3^2+4^2+.....+ n^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

ผลรวมของ $ i^3_{(1^3ถึงn^3)} = 1^3+2^3+3^3+4^3+.....+ n^3 = \frac{1}{4}n^2(n+1)^2$


$ \ \ \ 1\cdot 2\cdot 3 + 2\cdot 3\cdot 4 + 3\cdot 4\cdot 5 +.... + n(n+1)(n+2) = $ ผลรวมของ$i(i+1)(i+2) $



$i(i+1)(i+2) = i^3 + 3i^2 +2i $

ผลรวม $i(i+1)(i+2) $ = ผลรวม $i^3$ + ผลรวม $3i^2$ +ผลรวม $2i $

$= [\frac{1}{4}n^2(n+1)^2] + [3 \cdot \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)] + [2 \cdot \frac{1}{2} \cdot n(n+1)]$

$= n(n+1)[\frac{n(n+1)}{4} + \frac{(2n+1)}{2} + 1]$

$= \frac{n(n+1)}{4}[n(n+1)+2(2n+1)+4]$

$\frac{n(n+1)}{4}[n^2+n+4n+2+4]$

$\frac{n(n+1)}{4}[n^2+5n+6]$

$\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$


ดังนั้น $ 1\cdot 2\cdot 3 + 2\cdot 3\cdot 4 + 3\cdot 4\cdot 5 +.... + n(n+1)(n+2) = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$


พยายามเข้าใจหน่อยนะครับ หมดพุงแล้ว :haha:

หลักหน่วยมันวนกันเหมือนที่พี่ banker บอกอ่ะครับ

$2009^{2k}=....1$ เมื่อ k เป็นจำนวนบวก
$2009^{2k+1}=...9$ เมื่อ k เป็นจำนวนบวก

ดังนั้น $2009^{2009^{2009^{2009^{.^{.^{.}}}}}}=2009^{2k+1}=....9$ อ่าครับ

ช่วยพิสูจน์ผลบวกของ $i^2$ และ $i^3$ ด้วยครับ

วันนี้เหนื่อยแล้วครับ พรุ่งนี้จะมาดูให้ใหม่ครับ

อย่างไรก็ตามลองดูเรื่องจำนวน bernoulli ดูก่อนครับ

http://www.mathcenter.net/sermpra/se...pra36p01.shtml

ดูแนวคิดของการหา ผลบวกของ $i^2$ เป็นตัวอย่างก็แล้วกัน (เป็นวิธีพิสูจน์แบบง่ายๆแบบหนึ่งครับ)
จากความสัมพันธ์ที่ว่า $(i+1)^3-i^3 =3i^2+3i+1$
$i =1, ~~~~~~~~~~2^3-1^3 =3(1)^2+3(1)+1................................(1)$
$i =2, ~~~~~~~~~~3^3-2^3 =3(2)^2+3(2)+1................................(2)$
.............................................................

$i =n, ~~~~(n+1)^3-(n)^3 =3(n)^2+3(n)+1................................(n)$
$(1)+(2)+...+(n)$
$(n+1)^3-1 = 3\sum_{i = 1}^{n} i^2+3\sum_{i = 1}^{n} i+n$

แต่เรารู้ว่า$\sum_{i = 1}^{n} i=\frac{n}{2}(n+1) $
ต่อจากนี้ก็คงทำต่อได้แล้วนะครับ
ในกรณีของ $i^3$ ก็ใช้หลักคิดแบบเดียวกันครับ

อ๋อ ขอบคุณมากเลยครับคราวนี้เคลียร์จริงๆแล้วครับ

ปล.ผมเห็นความรู้หล่นลงมาเต็มเลยแหะ ^^