โจทย์คิดเลขเร็ว
 

ไฟล์โจทย์pdf

http://www.scribd.com/share/upload/1...lqa410uxav35ez

ขอบคุณ
คนรักคณิต

ก็ไม่รู้จะใช้ได้รึเปล่าอ่านะ

1. จงหาค่าของ $2552^2-2551^2+2550^2-2549^2+....+2^2-1^2$

2. จงคำนวณผลบวก $\frac{1}{2009}+\frac{2}{2009}+\frac{3}{2009}+...+\frac{2009}{2009}$

3. จงทอน $\frac{87878787\times 65656565}{78787878\times 56565656}$ เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ

4. จงหาค่าของ $\frac{111}{1+1+1}+\frac{222}{2+2+2}+\frac{333}{3+3+3}+...+\frac{999}{9+9+9}$

5. จงหาค่าของ $\frac{1}{1}+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+....+\frac{1}{1+2+3+....+20092552}$

6. จงหาเศษจากการหาร $1234567898765432123456789876543212345678987654321$ ด้วย 11

7. จงหาเศษจากการหาร $4444444.....(มี 4 อยู่ 20092552 ตัว)$ ด้วย 7

8. จงหาเศษจากการหาร $12345678910111213141516....255025512552$ ด้วย 16

9. จงคำนวณผลคูณ $(0^3-2210)(1^3-2209)(2^3-2208)....(2210^3-0)$

10. จงคำนวณผลบวก $\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+...+\frac{1}{2552\times 2553}$

11. จงหาค่าของ $2(28^2)+29^2-16^2-15^2+9^2$

12. จงหาว่า ผลคูณ $1\times 2\times 3\times 4\times 5\times ....\times 2009$ ลงท้ายด้วย 0 ทั้งสิ้นกี่ตัว

13. จงคำนวณค่าของ $\frac{1(2)+2(3)+3(4)+....+999(1000)}{1000}$

14. จงหาส่วนที่เป็นทศนิยมของ $\frac{1+11+111+1111+11111+....+1111...(มี 1 อยู่ 2009 ตัว)}{100}$

15. จงเลขโดดในหลักหน่วยของ $2009^{2009^{2009^{2009^{.^{.^{.}}}}}}$ เมื่อมี 2009 ทั้งสิ้น 2009 ตัว

16. จงหาเศษจากการหาร $1\times 2\times 3+2\times 3\times 4+3\times 4\times 5+...+2007\times 2008\times 2009$ ด้วย 2010

17. จงคำนวณค่าของ $\frac{13^{2009}+25(13^{2006})+5(13^3)+125}{13^{2006}+5}$

18. มีจำนวนเต็มบวกกี่จำนวนที่เป็นตัวประกอบของ 2009200920092009

19. จงหาหรม.ของ 123123123123 , 456456456456 และ 789789789789

20. ถ้าเราเรียน 2553 ในรูปของ $2^a+2^b+2^c+2^d+...$ เมื่อ a,b,c,d,.... เป็นจำนวนเต็มบวกหรือ 0 ซึ่งแตกต่างกัน แล้ว a+b+c+d+... มีค่าเท่าใด

ข้อ1.
$$(2552-2551)(2552+2551)+(2550-2549)(2550+2549)+...+(3-2)(3+2)+(2-1)(2+1)$$
$$2552+2551+2550+...+3+2+1=(2553)(\frac{2552}{2})=3257628 $$

ขอบคุณพี่scylla

$\frac{1}{2009}+\frac{2}{2009}+\frac{3}{2009}+...+\frac{2009}{2009}$

$\frac{1+2+3+4+5+...+2009}{2009}$
$\frac{2009*1005}{2009}$
$1005$

$ตอบ 1005$
______________________________________
ขอลัดนะ
$1\times 2\times 3\times 4\times 5\times ....\times 2009$
2009/5=401
401/5=80
80/5=16
16/5=3

$มี0=401+80+16+3=500ตัว$
_______________________________________

$\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+...+\frac{1}{2552\times 2553}$
พิจารณา$\frac{1}{1\times 2}=1/2$
$\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}=2/3$
$\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}=3/4$

ดังนั้น$\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+...+\frac{1}{2552\times 2553}=
2552/2553$

พี่สงสัยข้อ 12. นะ พี่ว่าน้องหารเลขผิดอ่ะ

ข้อ4.
$$\frac{111}{3}+\frac{222}{2(3)}+\frac{333}{3(3)}+\frac{444}{4(3)}+...+\frac{999}{9(3)}$$
$$=\overbrace{\frac{111}{3}+\frac{111}{3}+...+\frac{111}{3}}^{9} $$
$$=9(\frac{111}{3})=333$$

พี่ครับ ขอเวลา 1วันครับ เดี๋ยวพรุ่งนี้มาตอบ:p

ใครชื่อ "ครัย" ครับ :) พี่ครัย จะได้อนุญาตถูกว่าจะให้เวลา 1 วันหรือเปล่า

ปล. วันนี้กระทู้อื่นมีแต่เครียดๆ เป็นพวก แกะ กับแพะ (GAT-PAT) เลยแวะเขามาตอบกระทู้ที่ไม่เครียดดีกว่า (ไม่ว่ากันนะครับ):happy:

ไม่ว่าครับๆๆ

แต่ทว่า โจทย์พวกนี้ ภาษาอังกฤษว่าไรหรอครับ

หมายถึง GAT-PAT หรือเปล่า ถ้าใช่ ก็เชิญศึกษาได้จากที่นี่ครับ
http://www.niets.or.th/

หมายถึง คิดเลขเร็ว ภาษาEng. ว่าไรครับ :huh:

คิดเลขเร็ว = think number quick :haha:



Quick Arithmetic
Quick Calculation

ตอนแรกว่าจะตอบทำนองคล้ายๆ กับ คุณ banker แต่กำลังรอผู้เชี่ยวชาญภาษามาตอบอยู่ พอเห็นตอบอย่างนี้ผมว่าที่ถูกต้องเป็นแบบนี้ครับ

คิดเลขเร็ว = kid-lek-raew
คำนี้มีที่มานะครับ ค้นจาก karaoke dictionary (thai-karaoke)

แม่น้ามูล=MOTHER WATER MOON

check ให้ด้วยครับ:p
3.$145/112$
5.$\frac{1}{1}+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+....+\frac{1}{1+2+3+....+20092552}$
$\frac{2}{1*2}+\frac{2}{2*3}+\frac{1}{3*4}+....+\frac{2}{20092552*20092553}$
$2(\frac{1}{1*2}+\frac{1}{2*3}+\frac{1}{3*4}+....+\frac{1}{20092552*20092553})$

พิจารณา$\frac{1}{1\times 2}=1/2$
$\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}=2/3$
$\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}=3/4$
ดังนั้น$\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+...+\frac{1}{20092552\times 20092553}= 20092552/20092553$

$2(20092552/20092553)$
$40185104/20092553$

11.2009
17.$13^3+25=2222$
19.$2^7=32*4=128$

ลองเช็คข้อ 3,17,19 ดูครับ
ลองตอบมาเป็นตัวเลขที่ไม่ติดเลขยกกำลังดูครับ

ข้อ 17 ผมว่ามันไม่ลงตัวอ่ะ
ข้อ 19 ผมได้ 3,003,003,003

ผมทำแบบนี้อ่ะครับ


$\frac{13^{2009}+25(13^{2006})+5(13^3)+125}{13^{2006}+5}$

$\frac{(13^{2006}+5)(13^3+25)}{13^{2006}+5}$

= $13^3+25=2197+25=2222$ อ่าครับ

อ่อรู้แล้วครับ ผมมองไม่เห็น 25 อ่ะ เห็นแค่ 1 เหอๆ

$\dfrac{87878787\times 65656565}{78787878\times 56565656}$

$ = \dfrac{(3 \times 29 \times 73 \times 101 \times 137) \times (5 \times 13 \times 73 \times 101 \times 137)}{(2 \times 3 \times 13 \times 73 \times 101 \times 137)\times (2^3 \times 7 \times 73 \times 101 \times 137)}$


$= \dfrac{3 \times 29 \times 5 \times13}{ 2 \times 3 \times 13 \times 2^3 \times 7}$

$= \dfrac{29\times5}{2^4\times7}$


$= \dfrac{145}{112} =1 \dfrac{33}{112}$

โจทย์ลักษณะนี้ ในระดับประถม ให้สันนิษฐานไว้ก่อนว่า ผลคูณ = 0


$ = (0^3-2210)(1^3-2209)(2^3-2208).......\color {Red}{(13^3 - 2197)}.....(2210^3-0)$


$= (0^3-2210)(1^3-2209)(2^3-2208)....... \color{red}{(0)}.....(2210^3-0)$

แบบเดิมครับ
ตั้งแถวเรียงลงมาแล้วบวกกัน

ผลบวกหลักหน่วย = 2009 ใส่ 9 ทด 2000
ผลบวกหลักสิบ = 2008 บวกที่ทด เท่ากับ 4008
ใส่ 8 ทด 4000

ก็จะได้ $ \ \ \ \ \frac{ตัวเลขเรียงเป็นขนวนรถไฟลงท้ายด้วย89}{100}$

ดังนั้นส่วนที่เป็นทศนิยม = .89

$2009200920092009 = 7^2\times 17\times41\times73\times137\times5882353$

$ 2009200920092009$ มีตัวประกอบ $=(2+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1) = 96 $ จำนวน

$123123123123 =3\times 7\times 11\times 13\times 41\times 101\times 9901$

$456456456456 = 2^3\times 3\times 7\times 11\times 13\times 19\times 101\times 9901$

$789789789789 = 3\times 7\times 11\times 13\times 101\times 263\times 9901$


หรมคือ $3 \times 7 \times 11 \times 13\times 101\times 9901 = 3003003003$

แบ่งตัวเลข $ 1234567898765432 1234567898765432 1234567898765432 1$ ออกเป็นดังนี้


$ 1234567898765432 \ \ 1234567898765432 \ \ 1234567898765432 \ \ 1$

$ 1234567898765432 $ หารด้วย 11 ลงตัว

ดังนั้น เศษจากการหาร $1234567898765432 1234567898765432 1234567898765432 1$
ด้วย 11 คือ 1

4 หารด้วย 7 เหลือเศษ 4
44 หารด้วย 7 เหลือเศษ 2
444 หารด้วย 7 เหลือเศษ 3
4444 หารด้วย 7 เหลือเศษ 6
44444 หารด้วย 7 เหลือเศษ 1
444444 หารด้วย 7 เหลือเศษ 0
4444444 หารด้วย 7 เหลือเศษ 4
44444444 หารด้วย 7 เหลือเศษ 2


เลขวน 4 2 3 6 1 0

20092552 หารด้วย 6 เหลือเศษ 4

ดังนั้น เศษจากการหาร $4444444.....$(มี 4 อยู่ 20092552 ตัว) ด้วย 7 คือ 6

ตัวเลขไม่แยะ เลข 2 ก็คุ้นๆอยู่ ก็ใส่ไปเลยครับ

$2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+...$

$ = 1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024 +2048 $

มี 1 ที่จะทำให้ผลรวมเป็นเลขคี่(2553) ได้ ก็ไม่ยากแล้ว

$ = 1+8+16+32+64+128+256+2048 = 2553 $

$ = 2^0+2^3+2^4+2^5+2^6+2^7+2^8+2^{11} = 2553 $

$0+3+4+5+6+7+8+11 = 44 $

$a+b+c+d+e+f+g+h = 44 $

ตอนแรกยังนึกๆอยู่ว่า จขกท. เอาอะไรมาถามเด็กประถม
พอดีเมื่อวานสอนเลขให้หลานเรื่อง หารลงตัว ก็ถึงบางอ้อ
ผมว่าเริ่มทำสัก 2 - 3 บรรทัด ทุกท่านก็มองเห็นแนวทางแล้ว
เหมือนอ้าปากก็เห็นลิ้นคน

100 หารด้วย 4 เหลือเศษ 0

1000 หารด้วย 8 เหลือเศษ 0

2000 หารด้วย 16 เหลือเศษ 0

ทำต่อได้แล้วใช่ไหมครับ




ถ้ายังคิดไม่ออก ก็กด Ctrl +A

เพราะว่า $ \ \ \ 12345678910111213141516....255025512552$


$ \ \ \ = 12345678910111213141516....255025512000 + 552$

แต่ $ \ \ \ 12345678910111213141516....255025512000 $ หารด้วย 16 ลงตัว

ดังนั้นจึงเหลือ $\frac{552}{16}$ หารแล้วเหลือเศษ 8 :haha:

สองข้อนี้อยู่ในแนวเดียวกัน
มีสูตรสองสูตรที่ใช้
สำหรับประถม จำๆไว้ก่อน เอาไว้ไปใช้สอบแข่งขัน เรื่องการพิสูจน์เอาไว้ขึ้นมัธยมแล้วค่อยว่ากันอีกที


ข้อ 13 จงคำนวณค่าของ $\frac{1(2)+2(3)+3(4)+....+999(1000)}{1000}$

ใช้สูตร
$1\cdot 2 + 2\cdot 3 + 3\cdot 4 + 4\cdot 5 + ....+ n(n+1) = n(n+1)$$\dfrac{(n+2)}{3}$

แทนค่าไปเลย $\dfrac{1(2)+2(3)+3(4)+....+999(1000)}{1000}$

= $\dfrac{999(999+1)\frac{999+2}{3}}{1000}$

$= 333\times 1001 = 333 333$ เศษ $0$





ข้อ 16 จงหาเศษจากการหาร $1\times 2\times 3+2\times 3\times 4+3\times 4\times 5+...+2007\times 2008\times 2009$ ด้วย 2010

ใช้สูตร $1\cdot 2\cdot 3 + 2\cdot 3\cdot 4 + 3\cdot 4\cdot 5 +.... + n(n+1)(n+2) = n(n+1)(n+2)$ $(\frac{(n+3)}{4})$

แทนค่าจะได้ $1\times 2\times 3+2\times 3\times 4+3\times 4\times 5+...+2007\times 2008\times 2009 $

$= 2007(2007+1)(2007+2)(\dfrac{(2007+3)}{4}) $

$= 2007 \times 2008 \times 2009(\dfrac{(2010)}{4}) $

หารด้วย $2010$ ก็จะได้ $2007\times 502\times 2009$ เศษ $0$

ข้อนี้ไม่ทราบต้องการให้ใช้วิธีหาตัวประกอบหรือเปล่า
แต่ดูแล้วตัวเลขก็ไม่แยะ ดังนั้นใช้วิธียกกำลัง แล้วบวกลบกันธรรมดาก็น่าจะได้คำตอบ


$2(28^2)+29^2-16^2-15^2+9^2$

$ = 1568+841-256-225+81 = 2009$

ช่วยพิสูจน์สูตรข้อ 16 ให้ดูหน่อยครับ

เหลือข้อ 15 ทำไม่ได้ครับ


รู้แต่ว่า เลขท้ายของ 9 ยกกำลัง เป็น 1 กับ 9

$9^1 $ ลงท้ายด้วย 9
$9^2 $ ลงท้ายด้วย 1
$9^3 $ ลงท้ายด้วย 9
$9^4 $ ลงท้ายด้วย 1

ถ้าให้เดาในห้องสอบ 2009(ตัว) เป็นเลขคี่ ตอบว่าเลขโดดในหลักหน่วยคือ 9 :D

(เอาอย่างนี้แหละ) :haha:

ไม่ชัวนะครับ
เลข $9$ เนี่ย ยกกำลังสองแล้วหลักหน่วยวนได้ $2$ อย่างคือถ้า เลขชี้กำลังเป็นเลขคู่ ลง$1$ เลขคี่ลง$9$
ต่อมาก็หาว่า $2009^{2009^{2009^{2009^{.^{.^{.}}}}}}$ หาร $2$ เหลือเศษเท่าไหร่
ให้ $2009^{2009^{2009^{2009^{.^{.^{.}}}}}}=a$ จะได้
$2009^a=(2008+1)^a$
แล้วยัดทวินามจะได้ว่า มันเป็นเลขคี่
ดังนั้น เลขหลักหน่วยคือ $9$

ทำไมต้องหาร $2$ หรือครับ

เพราะการวนของหลักหน่วยมันมี 2 ตัวอ่ะครับ
ถ้าหารด้วย 2 ลงตัว จะลงที่ 1 แต่ถ้าไม่ลง จะลงที่ 9 อ่ะ

การแสดงว่า $1\cdot 2\cdot 3 + 2\cdot 3\cdot 4 + 3\cdot 4\cdot 5 +.... + n(n+1)(n+2) = n(n+1)(n+2)(\dfrac{(n+3)}{4})$


ให้ $P(n)$ แทนข้อความ $1\cdot 2\cdot 3 + 2\cdot 3\cdot 4 + 3\cdot 4\cdot 5 +.... + n(n+1)(n+2) = n(n+1)(n+2)(\dfrac{(n+3)}{4})$

(1) การแสดงว่า $P(1)$ เป็นจริง

เพราะว่า $1\cdot 2\cdot 3 = 6 = \dfrac{(1)(1+1)(1+2)(1+3)}{4}$

เพราะฉะนั้น P(1) เป็นจริง

(2) สมมุติให้ $P(k)$ เป็นจริง ดังนั้น

$1\cdot 2\cdot 3 + 2\cdot 3\cdot 4 + 3\cdot 4\cdot 5 +.... + k(k+1)(k+2) = k(k+1)(k+2)(\dfrac{(k+3)}{4})$


เพราะว่า $ \ \ 1\cdot 2\cdot 3 + 2\cdot 3\cdot 4 + 3\cdot 4\cdot 5 +.... + k(k+1)(k+2) +(k+1)(k+2)(k+3)$

$ \ \ \ = \dfrac{(k+1)(k+2)(k+3)}{4} + (k+1)(k+2)(k+3)$

$ \ \ \ = (k+1)(k+2)(k+3)[\dfrac{k}{4} + 1]$

$ \ \ \ = \dfrac{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4}$

เพราะฉะนั้น $P(k+1)$ เป็นจริง

สรุปโดยหลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์จะได้ว่า $P(n) $ เป็นจริงทุกค่า n

ดังนั้น $ \ \ \ 1\cdot 2\cdot 3 + 2\cdot 3\cdot 4 + 3\cdot 4\cdot 5 +.... + n(n+1)(n+2) = n(n+1)(n+2)(\dfrac{(n+3)}{4})$

มีแบบที่ไม่ใช้ induction ไหมครับ

.pdf
โจทย์-sol.

http://www.scribd.com/share/upload/1...lqa410uxav35ez

แหม อุตส่าห์ลอกเขามาให้ แล้วยังไม่เอา :haha:

เอาใหม่ ไม่รู้จะใช้ได้หรือเปล่า

กำหนดให้
ผลรวมของ $ i_{(1ถึงn)} = 1+2+3+4+.....+ n = \frac{1}{2}n(n+1)$

ผลรวมของ $ i^2 _{(1^2ถึงn^2)}= 1^2+2^2+3^2+4^2+.....+ n^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

ผลรวมของ $ i^3_{(1^3ถึงn^3)} = 1^3+2^3+3^3+4^3+.....+ n^3 = \frac{1}{4}n^2(n+1)^2$


$ \ \ \ 1\cdot 2\cdot 3 + 2\cdot 3\cdot 4 + 3\cdot 4\cdot 5 +.... + n(n+1)(n+2) = $ ผลรวมของ$i(i+1)(i+2) $



$i(i+1)(i+2) = i^3 + 3i^2 +2i $

ผลรวม $i(i+1)(i+2) $ = ผลรวม $i^3$ + ผลรวม $3i^2$ +ผลรวม $2i $

$= [\frac{1}{4}n^2(n+1)^2] + [3 \cdot \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)] + [2 \cdot \frac{1}{2} \cdot n(n+1)]$

$= n(n+1)[\frac{n(n+1)}{4} + \frac{(2n+1)}{2} + 1]$

$= \frac{n(n+1)}{4}[n(n+1)+2(2n+1)+4]$

$\frac{n(n+1)}{4}[n^2+n+4n+2+4]$

$\frac{n(n+1)}{4}[n^2+5n+6]$

$\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$


ดังนั้น $ 1\cdot 2\cdot 3 + 2\cdot 3\cdot 4 + 3\cdot 4\cdot 5 +.... + n(n+1)(n+2) = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$


พยายามเข้าใจหน่อยนะครับ หมดพุงแล้ว :haha:

หลักหน่วยมันวนกันเหมือนที่พี่ banker บอกอ่ะครับ

$2009^{2k}=....1$ เมื่อ k เป็นจำนวนบวก
$2009^{2k+1}=...9$ เมื่อ k เป็นจำนวนบวก

ดังนั้น $2009^{2009^{2009^{2009^{.^{.^{.}}}}}}=2009^{2k+1}=....9$ อ่าครับ

ช่วยพิสูจน์ผลบวกของ $i^2$ และ $i^3$ ด้วยครับ