ข้อสอบโหดๆครับ
 

1.(เลขคณิต) ถ้าสามารถเขียน $\sqrt{2009}$ ในรูปของ $$a+\frac{b}{c+\frac{b}{c+\frac{b}{c+\frac{b}{c+\frac{b}{...}}}}}$$
โดยที่ $a,b,c$ เป็นจำนวนเต็มบวก ถ้าต้องการให้ $a$ มีค่ามากที่สุดและ $\frac{c}{a}=2$ แล้ว $a+b+c$ มีค่าเท่าใด
2.(เรขาคณิต) รูปสี่เหลี่ยม $ABCD$ มี $AB//CD$ และ $AD//BC$ จุด $E$ เป็นจุดบน $BC$ ที่ทำให้ $\frac{BE}{BC}=\frac{1}{4}$
และจุด $F$ เป็นจุดบน $CD$ ที่ทำให้ $\frac{FD}{CD}=\frac{5}{13}$ ลาก $AE$ และ $AF$ ตัด $BD$ ที่จุด $G$ และ $H$ ตามลำดับ จงหาอัตราส่วนของ $GH:BD$
3.(พีชคณิต) กำหนด $x,y,z$ เป็นจำนวนจริงใดๆ ซึ่ง $z(x+y)=(x+y+z)(x-y+z)$
ให้ $$S_n=\left( \frac{x+y+z}{5^{\frac{1}{2n}}z}-\frac{1}{5^\frac{1}{2n}} \right)^n-\left( \frac{-z}{5^{\frac{1}{2n}}(x+y)}\right)^n$$
ถ้า $S_{2553}=S_{2551}+S_{2549}+S_{2547}+S_{2545}+...+S_3+S_1+k$ แล้ว $k$ มีค่าเท่าใด

$a+b+c$ เป็นจำนวนอะไรครับ จริง เต็ม หรือ เต็มบวก? มีเงื่อนไขอื่นไหม?

ผมว่าจำนวนเต็มบวกนะครับ แต่เงื่อนไขบอกแค่นั้นอ่ะครับ

ข้อ 1.ถ้าจำนวนเต็มบวกผมคิดได้ 44 ชุด
ข้อ 2. ได้ $GH:BD =\frac{47}{90} $
ข้อ 3. ให้คนอื่นเค้าเล่นบ้างนะครับ (:laugh:ยังไม่ได้คิดครับ)

ขอโทษครับคุณหยินหยาง พอดีลืมอีกเงื่อนไขของข้อแรกอ่ะครับ:cry:
ส่วนข้อ2 รบกวนขอวิธีทำได้มั้ยครับ ขอบคุณครับ

ก็เพราะ $\frac{c}{a} =2$ ผมถึงได้ 44 ชุด ครับ
ส่วนข้อ 2 ก็ใช้แค่ สามเหลี่ยมคล้ายก็ออกแล้วครับ โดยพิจารณาจาก $\Delta DHF \cong \Delta ABH$ กับ $\Delta BGE \cong \Delta AGD$

ขอเพิ่มอีกเงื่อนไขนะครับว่า ถ้าต้องการให้ $a$ มีค่ามากที่สุด

จะเป็นไปได้ยังไงที่ $a$ จะมีค่ามากที่สุดในบรรดา $a,b,c$ เพราะจากเงื่อนไข $\frac{c}{a} =2$

เปลี่ยนอ่ะครับ ขอโทษด้วยครับ

รบกวนวิธีทำข้อหนึ่งหน่อยคับ

ข้อ1. ถ้าตามเงื่อนไขที่ว่าละก็ $a+b+c=205$

แล้ววิธีทำล่ะคับขอรอ้งคับงง

ไม่ได้เข้ามานานแล้วแฮะ... ลองทำดูดีกว่า...
1.ให้ $\displaystyle k=\frac{b}{c+\frac{b}{c+\frac{b}{c+\frac{b}{c+\frac{b}{...}}}}}$
ได้ว่า $\displaystyle k=\frac{b}{2a+k}$ ($\because c=2a$)
จัดรูปได้ว่า $k^2+2ak-b=0$
$\therefore k=-a\pm\sqrt{a^2+b}$ แต่เห็นได้ชัดว่า $k>0$
$\therefore k=-a+\sqrt{a^2+b}$
จาก $\sqrt{2009}=a+k=\sqrt{a^2+b}$ เราต้องการหา $a$ ที่มีค่ามากที่สุด
จาก $44^2=1936<2009<2025=45^2$
$\therefore a$ ที่มากที่สุดที่เป็นไปได้คือ $a=44$ ส่งผลให้ $c=88$
จาก $\sqrt{2009}=\sqrt{a^2+b}$ จึงได้ว่า $b=2009-1936=73$
$\therefore a+b+c=44+73+88=205$

2.ตามที่คุณ หยินหยางบอก
จาก $\Delta DHF\sim\Delta ABH$ ได้ว่า $\displaystyle\frac{DH}{HB}=\frac{5}{13}$
จาก $\Delta BGE\sim\Delta AGD$ ได้ว่า $\displaystyle\frac{ฺBG}{GD}=\frac{1}{4}$
ให้ $a=DH,b=HG,c=GB$ ได้ว่า
$\displaystyle\frac{a}{b+c}=\frac{5}{13}$ นั่นคือ $\displaystyle\frac{a+b+c}{b+c}=\frac{18}{13}$ นั่นคือ $\displaystyle\frac{b+c}{a+b+c}=\frac{13}{18}$
และ $\displaystyle\frac{c}{a+b}=\frac{1}{4}$ นั่นคือ $\displaystyle\frac{a+b+c}{a+b}=\frac{5}{4}$ นั่นคือ $\displaystyle\frac{a+b}{a+b+c}=\frac{4}{5}$
$\displaystyle\therefore\frac{a+2b+c}{a+b+c}=\frac{137}{90}$ นั่นคือ $\displaystyle\frac{b}{a+b+c}=\frac{47}{90}$
ดังนั้น $\displaystyle\frac{GH}{BD}=\frac{47}{90}$

3.โจทย์มันแปลกๆนะครับ ช่วยลองเช็คโจทย์ได้ไหมครับ

แม้ไม่ได้เข้ามานาน แต่ฝีมือก็ไม่เคยตกเลยครับ :great: