ข้อสอบ ijso ปี 2561 ครั้งที่ 15
 

ข้อที่น่าจะมีปัญหาคือ

ข้อที่ 11. อ่านแล้วเข้าใจว่าจุด P, Q, R อยู่บนเส้นตรงเดียวกันอยู่แล้ว แล้วจะมีรูปสามเหลี่ยม PQR ได้อย่างไร


ถ้าข้อไหนผิดทักท้วงด้วยนะครับ.

ขอบคุณมากครับ

ข้อ2 มีวิธีคิดไหมครับ หรือต้องหารดู จนกว่าจะมีทศนิยมซ้ำ

ก็คงจะมีแต่วิธีนี้แหละครับ แต่ก็ไม่แน่
ลองหารดูแล้วจะพบว่าซำ้ตำแหน่งที่ 18 ครับ

ข้อ 2. ที่ผมทำคือ เนื่องจาก 26/133 = 1/7+1/19

แต่ 1/7 จะซ้ำทีละ 6 ตำแหน่ง

และ 1/19 จะซ้ำทีละ 18 ตำแหน่ง

ดังนั้น 1/7+1/19 จะซ้ำทีละ 18 ตำแหน่ง

จากนั้นเราก็พิจารณาเศษจากการหารด้วย 6 กับ 18 ของ 2018 กับ 2561 เพื่อดูว่าตรงกับตัวที่เท่าไรของทศนิยมซ้ำของ 1/7 กับ 1/19 ครับ.

ดูเพิ่ม For which prime numbers p does the decimal for 1/p have cycle length p-1?

อยากได้เฉลยข้อ 7 มากเลยค่ะ
 

ลองทำดู ไม่รู้ถูกรึเปล่าค่ะ
1 ตอบ A
2 ตอบ D
3 ตอบ D
4 ตอบ C
5 ตอบ B
6 ตอบ C
7 คิดได้ 20/7 ไม่มีในตัวเลือกเลยค่ะ อยากได้เฉลยข้อ 7 ค่ะ
8 ตอบ C
9 ตอบ A
15 ตอบ A
ข้ออื่นยังไม่ได้คิดค่ะ

ข้อ5นะครับ วิธีสร้างสมการกำลังสามจากรากของสมการมีแนวทางดังนี้
ทฤษฎี
สมการกำลังสาม$x^3+b_1x+b_0=0$ที่มีรากสมการเป็นจำนวนจริงเพียง1ค่าอีก2ค่าเป็นจำนวนเชิงซ้อนจะสามารถเขียนรากของสมการ(a)ได้เป็น
$a=p\sqrt[3]{\alpha }+p\sqrt[3]{\alpha^2 }$เมื่อ $p,\alpha$ เป็นจำนวนจริง
โดยความสัมพันธ์ระหว่าง $p,\alpha ,b_1,b_0$ มีดังนี้
$$\alpha ^2+(2+\frac{27b_0^2}{b_1^3} )\alpha +1=0..........(1)$$
$$p=\sqrt[3]{\frac{-b_0}{\alpha +\alpha ^2} }...........(2) $$

ข้อ5 $a=1+\sqrt[3]{2} +\sqrt[3]{4} $ หรือ $a-1=\sqrt[3]{2} +\sqrt[3]{4} $
แสดงว่า $p=1,\alpha =2$ แทนใน (2) ได้......$1=\sqrt[3]{\frac{-b_0}{2 +2^2} }$....ได้ $b_0=-6$
แทนใน (1) ได้..$2 ^2+(2+\frac{27(-6)^2}{b_1^3} )(2) +1=0$.......ได้ $b_1=-6$
แสดงว่า....$\sqrt[3]{2} +\sqrt[3]{4} $เป็นรากของสมการ $a^3-6a-6=0$
หรือ$1+\sqrt[3]{2} +\sqrt[3]{4} $เป็นรากของสมการ $(a-1)^3-6(a-1)-6=0$
เท่ากับ$a^3-3a^2-3a-1=0$

คำถามคือ
$a^3-\frac{39}{a} -\frac{12}{a^2} $เท่ากับเท่าไหร่เมื่อ $a=1+\sqrt[3]{2} +\sqrt[3]{4} $
วิธีทำ
ให้ $a^3-\frac{39}{a} -\frac{12}{a^2}=c_1 $จัดรูปได้$a^5-c_1a^2-39a-12=0$
หรือ$a^5-c_1a^2-39a-12=(a^2+c_2a+12)(a^3-3a^2-3a-1)$
กระจายและเทียบสัมประสิทธิ์ได้ $c_2=3,c_1=46$

ตรวจคำตอบที่ผมเขียนไว้ทุกข้อแล้วได้เลยครับ ถ้าข้อไหนคิดว่าผิดก็แย้งได้ครับ.

ข้อ 7. ให้ปัจจุบันพ่อและแม่มีอายุรวมกัน $5x$ ปี ลูกอายุ $x$ ปี

ได้ระบบสมการ $5x-2T=m(x-T), 5x+2T = m(x+T)$

จัดรูปเป็น$ (5-m)x=(2-m)T, (5-n)x=(-2+n)T$

นำสมการมาหารกัน แล้วจัดรูปเป็น $(2m-7)(2n-7) = 9 $

น่าจะต่อจนจบได้นะครับ. :great:

ข้อ9 หาค่าต่ำสุดโดยวิธีการใช้กราฟของพหุนามกำลังสี่แบบสมมาตรจุดยอด2จุดหรือวิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์
ให้$x^2+8x+\frac{1}{x^2} +\frac{8}{x} =k$
จัดรูปได้$x^4+8x^3-kx^2+8x+1=0$
ถ้า$k=-18$จะทำให้$x^4+8x^3-(-18)x^2+8x+1=[(x+2)^2-3]^2=0$
ซึ่งสามารถหารากของสมการได้เป็น$x=-2\pm \sqrt{3} $
ต่อไปในกรณี$k<-18$จะได้$x^4+8x^3-kx^2+8x+1=x^4+8x^3+18x^2+8x+1+\rho x^2,\rho >0$
ซึ่งก็คือ$x^4+8x^3-kx^2+8x+1=[(x+2)^2-3]^2+\rho x^2=0,\rho >0$
จะเห็นว่าสมการไม่มีรากคำตอบที่เป็นจำนวนจริง
แสดงว่า$x^2+8x+\frac{1}{x^2} +\frac{8}{x} $มีค่าต่ำสุดได้$-18$แล้วยังสามารถหารากของสมการที่เป็นจำนวนจริงได้