พหุนาม
 

หา $F(x)$ ที่ $xF(x-1)=(x-3)F(x)$ และ $F(4)=28$

ลองมั่วๆดูมานะครับ ไม่รู้ถูกปล่าว :sweat:
จาก $ xf(x-1) = (x-3)f(x) $ เนื่องจากเรารู้ $ f(4) $ จึงหา $f(3),f(2),f(1)$ ได้ไม่ยาก
หลังจากแทนเรียบร้อย ได้ว่า $f(3) = 7$ แต่ $f(2),f(1),f(0)$ ดันเท่ากับ 0 ซะงั้น
เลยทะแม่งๆ ว่า f(x)น่าจะอยู่ในรูป $(x-2)(x-1)(x)p(x)$ -------
ก็แทนกลับไปในสมการแรก ได้ว่า
$x(x-3)(x-2)(x-1)p(x-1) = (x-3)(x-2)(x-1)(x)p(x)$
อ้าวสนุกแล้ว $p(x-1)=p(x)$ แสดงว่า p(x) เนี่ย น่าจะเป็นค่าคงตัว สมมุติเป็น c
นำไปแทนกับ p(4)
ได้ว่า 28 = (2)(3)(4)c
ดังนั้น $c = \frac{7}{6}$
ดังนั้น $f(x)= \frac{7}{6}(x-2)(x-1)(x)$
ปล.ไม่รู้ว่ามีอันเดียวป่าวนะครับ :wacko:

คุณ TacH ถูกแล้วครับ

วิธีทำของผม
แทน $x=0$ ได้ว่า $F(0)=0$
แทน $x=1$ ได้ว่า $F(1)=0$
แทน $x=2$ ได้ว่า $F(2)=0$
สมมติ $F(x)$ มีรากอื่น ให้เป็น $y$
กรณี $y=3$ แทน $x=4$ จะได้ $F(3)=7\not=0$
ถ้า $y>3$ จะได้ว่าแทน $x$ เป็น $y+1$ จะได้ $F(y+1)=0$ ด้วย
ทำให้ $F(y+n)=0$ ทุก $n\in \mathbb{N}$ ขัดแย้งกับพหุนามมีรากจำกัด
ถ้า $y<0$ จะได้ว่าแทน $x$ เป็น $y$ จะได้ $F(y-1)=0$ ด้วย
ทำให้ $F(y-n)=0$ ทุก $n\in \mathbb{N}$ ขัดแย้งกับพหุนามมีรากจำกัด
จึงได้ $F(x)$ มีรากคือ $0,1,2$ เท่านั้น
$\therefore F(x)=cx(x-1)(x-2)$
แทน $x=4$ ไดว่า $c(4)(3)(2)=28$ ได้ $c=\frac{7}{6}$
จึงได้ $F(x)=\frac{7}{6}(x(x-1)(x-2))=\frac{7}{6}(x^3-3x^2+2x)$