ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Onion (ข้อความที่ 182390) ให้ x,y,z>0 และ xyz = 1 จงพิสูจน์ว่า ถ้า $\frac{1}{x} +\frac{1}{y} +\frac{1}{z} \geqslant x+y+z$ แล้ว $\frac{1}{x^8} +\frac{1}{y^8} +\frac{1}{z^8}\geqslant x^8+y^8+z^8$

$ \frac{1}{x^2} +\frac{1}{y^2} +\frac{1}{z^2} + 2(\frac{1}{xy} +\frac{1}{yz} +\frac{1}{zx}) \geq x^2+y^2+z^2 + 2(xy+yz+zx)$

$ \frac{1}{x^2} +\frac{1}{y^2} +\frac{1}{z^2} + 2(x+y+z) \geq x^2+y^2+z^2 + 2(\frac{1}{x} +\frac{1}{y} +\frac{1}{z})$


$ \frac{1}{x^2} +\frac{1}{y^2} +\frac{1}{z^2} \geq x^2+y^2+z^2$

ทำในทำนองเดียวกัน จะได้ $ \frac{1}{x^8} +\frac{1}{y^8} +\frac{1}{z^8}\geq x^8+y^8+z^8$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Onion (ข้อความที่ 182391) อีกข้อครับ จงแสดงว่า $\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\geqslant \frac{a+b+c}{3} $ สำหรับ a,b,c>0

โดยอสมการ Cauchy Schwarz,

$$ (\sum_{cyc} \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}) (\sum_{cyc} a(a^2+ab+b^2) \geq (\sum_{cyc}{(a^2})^2 $$

$$ \Leftrightarrow (\sum_{cyc} \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}) (a+b+c)(a^2+b^2 + c^2) \geq (\sum_{cyc}{(a^2})^2 $$

$$ \displaystyle\sum_{cyc} \frac{a^3}{a^2+ab+b^2} \geq \frac {\displaystyle\sum_{cyc}{a^2}}{\displaystyle\sum_{cyc}a}\;\;\;[1]$$

โดยอสมการ Cauchy Schwarz,

$$ (\sum_{cyc}{a^2})(\sum_{cyc}1) \geq (\sum_{cyc}a)^2 $$

$$ \frac{\displaystyle\sum_{cyc}{a^2}}{\displaystyle\sum_{cyc}a}\geq \frac {\displaystyle\sum_{cyc}{a}}{3}\;\;\;[2]$$

จาก [1], [2], จะได้

$$ \sum_{cyc} \frac{a^3}{a^2+ab+b^2} \geq \frac {\displaystyle\sum_{cyc}a}{3}$$