CDF Function และ Error Function
สวัสดีครับ ผมมีคำถามเกี่ยวกับ CDF Function ครับ
คือผมไปอ่านเจอบทความเกี่ยวกับ CDF Function และ error function ครับ ซึ่งทั้งสองอันมีสมการดังนี้ CDF Function : $$ F(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi } } \int_{-\infty}^{x}\ e^{\frac{-t^{2}}{2}} dt $$ Error Function : $$ erf(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} e^{-t^{2}} dt $$ เขาบอกว่า สามารถพิสูจนได้ว่า $$ F(x) = 0.5(1+erf(\frac{x}{\sqrt{2} })) $$ ผมพิสูจน์แล้วได้แค่ใกล้เคียงอะครับ แต่ไม่ตรงสักที อยากให้ผู้รู้ช่วยลองพิสูจน์ดูให้หน่อยอ่ะครับ ขอบคุณครับมากๆครับ:) |
$\displaystyle 0.5(1+erf(\frac{x}{\sqrt{2}}))=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^{x/\sqrt{2}}e^{-t^2}dt$
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\displaystyle = \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-u^2/2}\frac{du}{\sqrt{2}};u=\sqrt{2}t$ $\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\displaystyle = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^0 e^{-u^2/2}du+\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^x e^{-u^2/2}du$ $\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\displaystyle = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^{-u^2/2}du$ $\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=F(x)$ |
ขอบคุณมากๆครับ เดี๋ยวผมจะลองดูครับ
ขอสอบถามเพิ่มเติมนิดหนึ่งครับ $$ ทำไมบรรทัดที่สอง \int_{0}^{\frac{x}{\sqrt{2}}} ถึงกลายเป็น \int_{0}^{x} ธรรมดาได้อ่ะครับ$$ $$ แล้วบรรทัดที่สาม \int_{-\infty}^{0} โผล่มาจากไหนอะครับ $$ รบกวนอีกทีนะครับ ขอบคุณครับ:kaka: |
อ้างอิง:
อ้างอิง:
ถ้าแปลงกลับในรูปปริพันธ์ก็จะได้อย่างที่เห็น แต่ถ้าไม่เข้าใจความน่าจะเป็นก็อาจจะต้องพึ่งสูตรนี้ครับ $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}e^{-u^2/2}du=\sqrt{2\pi}$ โดยสมบัติการเป็นฟังก์ชันคู่ของ $e^{-u^2/2}$ จะได้ว่า $\displaystyle \int_{-\infty}^{0}e^{-u^2/2}du=\frac{\sqrt{2\pi}}{2}$ |
ขอบคุณมากๆครับ
ตอนแรกผมพิสูจน์ไปนี่ไม่ใกล้เคียงเลย แต่ตอนนี้ผมลองพิสูจน์ดูแล้วใกล้เคียงแล้วครับ แต่ผมยังคงได้ F(x) = 0.5(1+erf(x)) อ่ะครับ รบกวนช่วยดูหน่อยได้หรือเปล่าครับ ว่าผิดตรงไหน >> รูปที่ผมพิสูจน์ครับ [IMG] adult image[/IMG]<< |
ลืมเปลี่ยนลิมิตของการอินทิเกรตครับ จาก $\square = \dfrac{t}{\sqrt{2}}$
เมื่อ $t=x$ จะได้ $\square=\dfrac{x}{\sqrt{2}}$ |
อ่อ ขอบคุณมากๆครับ เจอละ ผมก็งงอยุ่ตั้งนาน -/\-
|
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 19:58 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha