โจทย์ตรีโกณ
 

จงจัดรูปอย่างง่ายของ $$\frac{sin9x+6sin7x+17sin5x+12sin3x}{sin8x+5sin6x+12sin4x} $$

L I N K นี้

$$\frac{sin9x+6sin7x+17sin5x+12sin3x}{sin8x+5sin6x+12sin4x} $$

จาก$\sin A+\sin B=2\sin \left(\, \frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\,\frac{A-B}{2}\right) $

พจน์ของเศษที่เป็นมุม เป็นเลขคี่ ถ้าเราเข้าสูตรก็จะได้มุมเป็นเลขคู่ ให้ดูตรง$\frac{A-B}{2}$ เราจะเห็นว่าแต่ละพจน์ของเศษนั้นห่างกันเท่ากับ$x$ ลองเขียนออกมาก่อน
$sin9x+sin7x=2sin8xcosx$
$sin7x+sin5x=2sin6xcosx$
$sin5x+sin3x=2sin4xcosx$
มีพจน์ร่วมคือ $cosx$ และพจน์ที่เหลือก็มีทั้ง$sin8x,sin6x,sin4x$
น่าจะตัดกันได้ลองแปลงเศษก่อน
$sin9x+6sin7x+17sin5x+12sin3x=(sin9x+sin7x)+(5sin7x+5sin5x)+(12sin5x+12sin3x)$
$=2sin8xcosx+10sin6xcosx+24sin4xcosx$
$=2cosx\left(\,sin8x+5sin6x+12sin4x\right) $

$sin9x+6sin7x+17sin5x+12sin3x= 2cosx\left(\,sin8x+5sin6x+12sin4x\right) $
เราเอา$sin8x+5sin6x+12sin4x$ หารทั้งสองข้างจะได้

$$\frac{sin9x+6sin7x+17sin5x+12sin3x}{sin8x+5sin6x+12sin4x}=2 $$

ผิดนิดนึงนะครับ $$\frac{sin9x+6sin7x+17sin5x+12sin3x}{sin8x+5sin6x+12sin4x}=2cosx $$

ขอบคุณครับคุณยุรนันต์.....เมื่อวานไม่ว่างเลย
รีบทำไปหน่อยเลยทำให้คำตอบผิด

อยากเห็นตัวอย่างอีกครับ...