พิสูจน์ อนุกรมใดลู่เข้า Quota CMU 56
 

อนุกรมใดลู่เข้า

1. $\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{n!}{5^n}$

2. $\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}$

3. $\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(-1)^n n^2}{n^2+5}$

4. $\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{4n^2-n^3}{10+2n^3}$

คือข้อ 1. ยังพอใช้ limit หาได้นะคับว่า พจน์ที่อนันต์ของ อนุกรม มันจะลู่ออก

แต่ข้ออื่นผม ไปไม่ถูกเลยครับ

รบกวนท่านทั้งหลายช่วยชี้แนะ

ข้อ $1,3,4$ ใช้ Divergence test จะได้ว่าลู่ออก

ข้อ $2$ เป็นอนุกรมสลับที่ลู่เข้าครับ ผมไม่แน่ใจว่าม. ปลายสอนเรื่องนี้แล้วรึยัง

อยากข้อ 3 นี่เราจะได้ limit เป็นเท่าไหรอ่ะคับ -1 หรือ 1

ข้อ $3$ ไม่มีลิมิตครับเพราะเป็นลำดับกวัดแกว่ง

อ่าคับ

แล้วทีนี้ ถ้ามัน ไม่มีลิมิต Divergence test ของเรา ก็จะ บอกว่ามัน ไดเวอร์จ เลยใช่มั๊ยอ่ะคับ

ตามที่ผมเข้าใจ Divergence test นี่ ถ้า ลิมิต ไม่เท่ากับ 0 จึงจะบอกว่า อนุกรมนั้น ไดเวอร์จ อย่างเดียวอ่ะคับ

ข้อ 3 นี่มันไม่มี lim ไม่ใช่ lim หาค่าไม่ได้

ถ้าเป็น divergent ต้อง lim ไม่เท่ากับ 0 และ lim หาค่าไม่ไ้ด้

งงเหมือนกัน - -*

การทดสอบโดยใช้แบบอัตราส่วน (Ratio Test)
กำหนดอนุกรม$ \sum_{n = 1}^{\infty} a_n$ เป็นอนุกรมที่ $a_n\geqslant 0$ ถ้า
(i)$ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} < 1 $ แล้ว $ \sum_{n = 1}^{\infty} a_n$ เป็นอนุกรมลู่เข้า
(ii) $ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} > 1 หรือหาค่าไม่ได้ $ แล้ว $ \sum_{n = 1}^{\infty} a_n$ เป็นอนุกรมลู่ออก
(iii)$ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} <=1 $ แล้ว สรุปไม่ได้

$\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}$ ให้ $a_n =\frac{(-1)^{n+1}}{n} $ จะได้ $a_{n+1}=\frac{(-1)^{n+2}}{n+1} $ ดังนั้น $ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} =\lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^{n+2}}{n+1}\cdot \frac{n}{(-1)^{n+1}} = -1 <1 $ สรุปว่า $\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}$ เป็นอนุกรมคอนเวอร์เจนต์ครับ :)

ผิดพลาดตรงไหนขออภัยด้วยครับ :)

ตรงข้อ (iii) เป็น เครื่องหมาย = นะครับ ไม่มี <

Ratio test ใช้สำหรับอนุกรมบวกครับ จริงๆแล้วใช้ได้สำหรับอนุกรมใดๆเมื่อใส่ค่าสัมบูรณ์เพื่อเช็ค absolutely convergent series แต่ข้อนี้ก็ใช้ ratio test ในรูปค่าสัมบูรณ์ไม่ได้อยู่ดีเพราะอนุกรมนี้เป็นอนุกรมที่ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข

คำว่าลิมิตไม่เท่ากับศูนย์นี้รวมถึงลำดับลู่ออกด้วยนะครับ

ขอบคุณมากครับ

อ่อใช่ๆ ผมลืมไป ขออภัยด้วยครับ :(