แบบนี้ใช้ได้ไหม ??
 

คือผมมีทฤษฎีบทที่สงสัย แล้วลองทำดูครับ เลยเอามาถามพี่ๆ ว่าใช้ได้ไหม

$B(X,Y) = \{ T:X \rightarrow Y \; \; |\; \; \exists M >0, \; \; \|Tx\|\leq M\| x\|\}.$

Theorem : Let $X$ be a Banach space, $Y$ be a normed linear space and $T\in B(X,Y)$. Then $T^{-1}\in B(Y,X)$ if and only if $\overline{im T} = Y $ and there exists $c>0$ such that $\| Tx\| \geq c\|x\|$.

ขากลับผมไม่มีปัญหาครับ แต่ขาไปผมทำดังนี้

$(\Rightarrow )$ Let $y\in Y$. Then there exists $x\in X$ such that $x = T^{-1}y$. Hence, $y=Tx$. Since $X$ is a Banach space, There exists a sequence $x_n$ which converges to $x$. Thus, \[ y=Tx = T\left( \lim_{n\rightarrow \infty}x_n\right) = \lim_{n\rightarrow \infty}Tx_n\]
We have $y\in \overline{im T}$, since $Tx_n$ which converges to $y$ is a sequence in im $T$. Since $y$ is arbitrary in $Y$, $\overline{im T} = Y $

สรุปแบบนี้ถูกไหมครับ?? ต่อไปอีกส่วนนึงนั้นไม่ยากครับ ไม่มีปัญหา

ผมว่าินิยาม Banach space ไม่ไ่ด้บอกอย่างนี้นะครับ

อันหลัง เหมือนนิยามของ dense subspace มากกว่า

เห็นด้วยกับคุณ passer-by ครับ ผมว่าขาไปนี่ง่ายกว่าด้วยซ้ำถ้าผมเข้าใจไม่ผิดนะ

$T^{-1}\in B(Y,X)$ หมายความว่า $T^{-1} : Y\to X$ ดังนั้น

$T\circ T^{-1} = 1_Y$ เราจึงได้ว่า $T$ onto

จบรึยังครับ เริ่มไม่แน่ใจเพราะมันง่ายผิดปกติ ;)

อ่า ว่าแล้วต้องผิด แหะๆ ตอนนี้ได้แล้วขอบคุณพี่ nooonuii และพี่ passer-by มากๆ ครับ