ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ MirRor (ข้อความที่ 42888) $2^{2t} = a^{2b} - 1$ $2^{2t}$ - 2$a^b$ = $(a+1)^2$ I ma took tang หรือเปล่า:haha::cry:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Hirokana (ข้อความที่ 116117) ขอขุดกระทู้ด้วยคนครับ อยากรู้แนวคิด

ให้ $b=2b_1$
1.) $2^t=a^{2b_1}-1=(a^{b_1}-1)(a^{b_1}+1)$
จะได้ว่ามี $x,y \in \mathbb{\mathbb{Z} }$ ซึ่ง $x,y \ge 0,x+y=t$
และ $a^{b_1}-1=2^x,a^{b_1}+1=2^y$
จะได้ $2=2^y-2^x=2^x(2^{y-x}-1)$
จะได้ว่า $x=1,y=2$
นั่นคือ $a=3,b=2,t=3$

2.) $2^t=a^{2b_1}+1$
ถ้า $t>1$ จะได้ว่า $4|L.H.S.$ แต่ $R.H.S.=a^{2b_1}+1 \equiv 1,2 \pmod{4}$
ดังนั้น กรณีนี้ไม่มีคำตอบ

ให้ $b=2b_1$
1.) $2^t=a^{2b_1+1}-1=(a-1)(a^{2b_1}+a^{2b_1-1}+...+a+1)$
สังเกตุว่า $a^{2b_1}+a^{2b_1-1}+...+a+1$ มี $a^k$ อยู่ $2b_1$ ตัว
จะได้ว่า $a^{2b_1}+a^{2b_1-1}+...+a+1$ เป็นจำนวนคี่
นั่นคือ $a^{2b_1}+a^{2b_1-1}+...+a+1=1$
$a=0$
ดังนั้นกรณีนี้ไม่มีคำตอบ

2.) $2^t=a^{2b_1+1}+1=(a+1)(a^{2b_1}-a^{2b_1-1}+...-a+1)$
สังเกตุว่า $a^{2b_1}-a^{2b_1-1}+...-a+1$ มี $a^k$ อยู่ $2b_1$ ตัว
จะได้ว่า $a^{2b_1}-a^{2b_1-1}+...-a+1$ เป็นจำนวนคี่
นั่นคือ $a^{2b_1}-a^{2b_1-1}+...-a+1=1$
$a(a-1)(a^{2b_2-2}+a^{2b_2-4}+...+a^2+1)=0$
$a=0,1$
ดังนั้นกรณีนี้ไม่มีคำตอบ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer (ข้อความที่ 116120) ผมพอจะทำได้นะ ถึงวิธีมันจะไม่สร้างสรรค์ แต่ก็เอาเถอะ สังเกตุว่า $a$ เป็นจำนวนคี่ Case1 $b$ เป็นจำนวนคู่ ให้ $b=2b_1$ 1.) $2^t=a^{2b_1}-1=(a^{b_1}-1)(a^{b_1}+1)$ จะได้ว่ามี $x,y \in \mathbb{\mathbb{Z} }$ ซึ่ง $x,y \ge 0,x+y=t$ และ $a^{b_1}-1=2^x,a^{b_1}+1=2^y$ จะได้ $2=2^y-2^x=2^x(2^{y-x}-1)$ จะได้ว่า $x=1,y=2$ นั่นคือ $a=3,b=2,t=3$ 2.) $2^t=a^{2b_1}+1$ ถ้า $t>1$ จะได้ว่า $4|L.H.S.$ แต่ $R.H.S.=a^{2b_1}+1 \equiv 1,2 \pmod{4}$ ดังนั้น กรณีนี้ไม่มีคำตอบ Case2 $b$ เป็นจำนวนคี่ ให้ $b=2b_1$ 1.) $2^t=a^{2b_1+1}-1=(a-1)(a^{2b_1}+a^{2b_1-1}+...+a+1)$ สังเกตุว่า $a^{2b_1}+a^{2b_1-1}+...+a+1$ มี $a^k$ อยู่ $2b_1$ ตัว จะได้ว่า $a^{2b_1}+a^{2b_1-1}+...+a+1$ เป็นจำนวนคี่ นั่นคือ $a^{2b_1}+a^{2b_1-1}+...+a+1=1$ $a=0$ ดังนั้นกรณีนี้ไม่มีคำตอบ 2.) $2^t=a^{2b_1+1}+1=(a+1)(a^{2b_1}-a^{2b_1-1}+...-a+1)$ สังเกตุว่า $a^{2b_1}-a^{2b_1-1}+...-a+1$ มี $a^k$ อยู่ $2b_1$ ตัว จะได้ว่า $a^{2b_1}-a^{2b_1-1}+...-a+1$ เป็นจำนวนคี่ นั่นคือ $a^{2b_1}-a^{2b_1-1}+...-a+1=1$ $a(a-1)(a^{2b_2-2}+a^{2b_2-4}+...+a^2+1)=0$ $a=0,1$ ดังนั้นกรณีนี้ไม่มีคำตอบ $\therefore a=3,b=2,t=3$ only!

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Anonymous314 (ข้อความที่ 42834) Find all positive integer $t$ such that $t,a,b>1$ and $2^t=a^b-1$ or $2^t=a^b+1$ :great: