![]() |
Number หารลงตัวและกำลังสองสมบูรณ์
1. ถ้า $a,b$ เป็นจำนวนเต็มบวกซึ่ง $4ab-1|4a^2-1$ แล้ว $a=b$
2.จงแสดงว่าสำหรับจำนวนเต็มบวก $m,n$ ใดๆ จะไม่มี$(m,n)$ ที่ทำให้ $4mn-m-n$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ |
โจทย์ข้อ 1 เป็น IMO 2007 ข้อ 5 ครับ
แต่ต้องเป็น $4ab-1 \mid (4a^2-1)^2$ มีกำลังสองด้วย |
2 ::
Lemma ให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ $n \in \mathbb{N}$ ถ้า $p \equiv 3 \pmod 4$ แล้ว $p \nmid (n^2+1)$ Let $p=4k+3$ and $p \ | \ (n^2+1)$ FLT; $n^{4k+3} \equiv n \pmod p$ $n^{4k+4} \equiv n^2 \pmod p$ จาก $p \ | \ (n^2+1)$ $p \ | \ (n^4-1)$ $n^{4k+4} \equiv 1 \pmod p$ $\therefore n^2 \equiv 1 \pmod p$ ซึ่งไปแทนค่ากลับจะขัดแย้งกับ $p=4k+3$ and $p \ | \ (n^2+1)$ สมมติมี $a,b,k \in \mathbb{N}$ ซึ่ง $4ab-a-b=k^2$ จัด... $(4a-1)(4b-1)=(2k)^2+1$ โดย Lemma ถ้ามี prime $p$ ซึ่ง $p \ | \ (4a-1)(4b-1)$ แล้ว $p=2$ หรือ $p \equiv 1 \pmod 4$ Its clear that $p \not= 2$ จำนวนเฉพาะ $p$ ทั้งหมดซึ่งหาร $(4a-1)(4b-1)$ ลงตัวต้องสอดคล้องกับ $p \equiv 1 \pmod 4$ ส่งผลให้จำนวนเฉพาะ $p$ ทั้งหมดซึ่งหาร $4a-1$ ลงตัวต้องสอดคล้องกับ $p \equiv 1 \pmod 4$ ด้วย $\because 4a-1 \not= 1$ $4a-1$ เขียนได้ในรูปผลคูณจำนวนเฉพาะ $p$ ซึ่ง $p \equiv 1 \pmod 4$ $4a-1 \equiv 1 \pmod 4$ ...ซึ่งขัดแย้ง จึงไม่มี $(m,n)$ ซึ่ง $4mn-m-n$ is a perfect square Q.E.D |
ขอโทษนะครับ ผมไม่เข้าใจครับTT"
|
คุณ Thgx เก่งจังอ่ะครับ :great:
ข้อเเรกตอนนี้ได้เเค่ว่า $p|a-b$ เองอ่ะครับ (ซึ่งผมสมมุติว่า $p|4ab-1$) เเล้วมันก็ติดไปติดมา 555 ช่วย Hint หน่อยครับ |
1.พิสูจน์ว่า $4ab-1 \mid (4a^2-1)^2$ ก็ต่อเมื่อ $4ab-1 \mid (a-b)^2$ (พิสูจน์ทั้งไปและกลับ)
2.สมมติ $a,b$ ไม่เท่ากัน 3.$S=\left\{\,(x,y) | x,y \in \mathbb{N} \wedge \frac{(x-y)^2}{4xy-1}=k \right\}$ และ $(a,b) \in S$ 4.$T=\left\{\,x+y | (x,y) \in S\right\}$ 5.$S,T$ ไม่เป็นเซตว่าง 6.$T$ มีสมาชิกน้อยสุด ให้ $(A,B) \in S$ สมมติ $A+B$ เป็นสมาชิกน้อยสุด WLOG $A > B$ 7.จาก 3 ได้ $\frac{(x-B)^2}{4xB-1}=k$ จะได้ $x^2-(2B+4kB)x+B^2+k=0$ สมมติให้มีรากเป็น $s,t$ และ $s \geq t$ 8. ใช้ความสัมพันธ์ของราก-สัมประสิทธิ์ $s+t=... , st=...$ และ $(s,B),(t,B) \in S$ 9. $(A,B) \in S$ จะได้ $\frac{(A-B)^2}{4AB-1}=k$ ได้ $A$ เป็นราก $x^2-(2B+4kB)x+B^2+k=0$ 10. จะได้ $A=s$ หรือ $A=t$ ซึ่งพิสูจน์ต่อว่าเป็นไปไม่ได้ (ใช้ความที่ $A+B$ น้อยสุดมาหาข้อขัดแย้งครับ) Cr. อ.ดำรง :great: |
1. ขอบคุณ คุณ Kheelzver คีย์ของอันนี้น่าจะเป็นหาข้อขัดแย้งที่บอกว่ามีค่าน้อยสุดแหละครับ :great:
วิธีผมนะ เราต้องพิสูจน์ให้ได้ก่อนเลยว่า $4ab-1|(4b^2-1)^2$ ลงตัวเหมือนกัน คราวนี้ลองสมมุติ 2 กรณีคือ $a>b,b>a$ แล้วใช้ข้อขัดแย้งที่คุณ Kheelzver บอกมาครับ คาราวะเลยครับ |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 07:11 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha