Diophantine Eq.
 

จงหา $a,b,c\in\mathbb{Z}$ ทั้งหมดซึ่ง $a^2+b^2=2c^2$

http://www.artofproblemsolving.com/F...c.php?t=239623 :p

หง่ายมากคัรบ
สังเกตว่า
$$c = \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}$$

ดัวนั้น คำตอบก็คือ
$$(a,b,\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}) $$

#3 แล้ว $\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$ มันเป็นจำนวนเต็มได้ตอนไหนบ้างครับ ตอบให้ชัดเจนหน่ิอยนะครับ

คำตอบมีมากมายนับไม่ถ้วน
เอาชุดคำตอบที่มีช่วงระหว่าง 1-100 ไปชมก่อนครับ
1,1,1,
1,7,5,
1,41,29,
2,2,2,
2,14,10,
2,82,58,
3,3,3,
3,21,15,
4,4,4,
4,28,20,
5,5,5,
5,35,25,
6,6,6,
6,42,30,
7,1,5,
7,7,7,
7,17,13,
7,23,17,
7,49,35,
8,8,8,
8,56,40,
9,9,9,
9,63,45,
10,10,10,
10,70,50,
11,11,11,
11,77,55,
12,12,12,
12,84,60,
13,13,13,
13,91,65,
14,2,10,
14,14,14,
14,34,26,
14,46,34,
14,98,70,
15,15,15,
16,16,16,
17,7,13,
17,17,17,
17,31,25,
17,73,53,
18,18,18,
19,19,19,
20,20,20,
21,3,15,
21,21,21,
21,51,39,
21,69,51,
22,22,22,
23,7,17,
23,23,23,
23,47,37,
23,89,65,
24,24,24,
25,25,25,
26,26,26,
27,27,27,
28,4,20,
28,28,28,
28,68,52,
28,92,68,
29,29,29,
30,30,30,
31,17,25,
31,31,31,
31,49,41,
32,32,32,
33,33,33,
34,14,26,
34,34,34,
34,62,50,
35,5,25,
35,35,35,
35,85,65,
36,36,36,
37,37,37,
38,38,38,
39,39,39,
40,40,40,
41,1,29,
41,41,41,
42,6,30,
42,42,42,
43,43,43,
44,44,44,
45,45,45,
46,14,34,
46,46,46,
46,94,74,
47,23,37,
47,47,47,
47,79,65,
48,48,48,
49,7,35,
49,31,41,
49,49,49,
49,71,61,
50,50,50,
51,21,39,
51,51,51,
51,93,75,
52,52,52,
53,53,53,
54,54,54,
55,55,55,
56,8,40,
56,56,56,
57,57,57,
58,58,58,
59,59,59,
60,60,60,
61,61,61,
62,34,50,
62,62,62,
62,98,82,
63,9,45,
63,63,63,
64,64,64,
65,65,65,
66,66,66,
67,67,67,
68,28,52,
68,68,68,
69,21,51,
69,69,69,
70,10,50,
70,70,70,
71,49,61,
71,71,71,
71,97,85,
72,72,72,
73,17,53,
73,73,73,
74,74,74,
75,75,75,
76,76,76,
77,11,55,
77,77,77,
78,78,78,
79,47,65,
79,79,79,
80,80,80,
81,81,81,
82,2,58,
82,82,82,
83,83,83,
84,12,60,
84,84,84,
85,35,65,
85,85,85,
86,86,86,
87,87,87,
88,88,88,
89,23,65,
89,89,89,
90,90,90,
91,13,65,
91,91,91,
92,28,68,
92,92,92,
93,51,75,
93,93,93,
94,46,74,
94,94,94,
95,95,95,
96,96,96,
97,71,85,
97,97,97,
98,14,70,
98,62,82,
98,98,98,
99,99,99,

จากการที่ผมมองคำตอบอยู่นานก็เลยเลือกเอาชุดคำตอบที่ หรม เป็น 1 บางคู่มาคิดความสัมพันธ์
ผมได้
$a^2+b^2=2c^2$

$a=u^2 + 2uv -v^2$
$b=v^2 + 2uv -u^2$
$c=u^2 + v^2$

ถูกต้องไหมครับ