เรื่องของ ln
1 ไฟล์และเอกสาร
อยากทราบว่า จริงหรือไม่ที่ $\ln(\frac{n+1}{n})\leq \frac{1}{n}$ สำหรับทุก n ที่เป็นจำนวนนับ
ถ้าจริงเราจะพิสูจน์อย่างไรครับ และถ้าไม่จริงไม่จริงที่ n ตัวใด หมายเหตุ ผมได้แทรกกราฟ มาให้ดูด้วยครับ Attachment 463 ขอบคุณมากที่ช่วยเหลือครับ |
แสดงให้ได้ว่าลำดับ $(1+\frac1n)^n$ เป็นลำดับเพิ่มโดยแท้ และมีขอบเขตบน (ซึ่งทำให้ลำดับนี้มีลิมิตคือค่า $e$)
ที่เหลือก็ take ln ทั้งสองข้างแล้วจัดรูปครับ |
หรือจะใช้ concept คล้ายๆกับการพิสูจน์ integral test ก็ได้ครับ
โดยอ้างจาก $ f(x)= \frac{1}{x} $ เป็นฟังก์ชันลดบน [n,n+1] ดังนั้น $$ \frac{1}{n+1} \leq \int_n^{n+1} \frac{1}{x} \,\,dx \leq \frac{1}{n} $$ อสมการด้านขวาก็คือสิ่งที่คุณ Mercedesbenz ต้องการ |
แถมให้อีกสองวิธีครับ :sung:
1. ใช้ Lagrange Remainder Theorem ให้ $f(x)=\ln{(1+x)}$ สำหรับ $x>0$ เราจะได้ว่า $f(x)=f(0)+f'(0)x+\dfrac{f''(y)}{2!}x^2$ สำหรับบาง $y\in (0,x)$ 2. พิสูจน์ว่า $\ln{(1+x)}\leq x$ ทุก $x\geq 0$ ให้ $f(x)=\ln{(1+x)}-x$ แสดงว่า $f$ เป็นฟังก์ชันลดในช่วง $[0,\infty)$ ดังนั้น $f(0)$ เป็นค่าสูงสุดสัมบูรณ์ในช่วงนี้ |
ขอบคุณพี่ๆ mathcenter มากเลยนะครับที่ช่วยไขข้อข้องใจ และแนะนำมา ผมไม่้ค่อยได้เข้ามาเล่นสักเท่าไหร่ช่วงนี้ แต่ที่นี่ยังอบอุ่นเหมือนเดิมเลยนะครับ ปีใหม่แล้วขอให้ชาว mathcenter ทุกๆคนจงสุขภาพร่างกายแข็งแรง คิดสิ่งใด ขอให้สมปรารถนานะครับ และขอให้พี่ๆอยู่คู่บอร์ดนี่ไปนานๆ จะไ้ด้ช่วยเหลือน้องๆ ต่อไปครับ
:D:D:D:D:D:laugh::laugh::D:laugh::laugh::rolleyes: |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 01:29 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha