Measure theory : Algebra of sets
 

Let $\scr{C}$ be a collection of subsets. Let $\scr{A}(\scr{C})$ be the algebra generated by $\scr{C}$ (i.e. $\scr{A}(\scr{C})$ = $\cap_{A \in \Gamma} A$ where $\Gamma$ is a family of algebra containing $\scr{C}$). Then $$\scr{A}(\scr{C}) = \{\sqcup_{i=1}^n (\cap_{j=1}^{m_j} A_{i, j}) : \ \mbox{either} A_{i,j} \ \mbox{or} \ A_{i,j}^c \in \scr{C} \ \mbox{for all} \ i,j\}.$$
($\sqcup$ denote disjoint union, i.e., $A \sqcap B = A \cup B$ with $A \cap B = \phi$)


ให้ $G = \{\sqcup_{i=1}^n (\cap_{j=1}^{m_j} A_{i, j}) : \ \mbox{either} A_{i,j} \ \mbox{or} \ A_{i,j}^c \in \scr{C} \ \mbox{for all} \ i,j\}$ จะเห็นได้ชัดเจนว่า $\scr{C} \subseteq$ $G$ ดังนั้น ถ้าแสดงได้ว่า $G$ เป็น algebra ก็จะได้ว่า $G = \scr{A}(\scr{C})$


ให้ $A \in G$ จะแสดงว่า $A^c \in G$
ถึงตรงนี้ติดปัญหาเกี่ยวกับการสลับ $\cup \cap$ เป็น $\cap \cup$ ครับ ปกติมีสูตรสำหรับการสลับ $$\cap_{i=1}^{n} \cup_{j=1}^{m_j} = \cup \cap$$ มั้ยครับ ลองเคสเล็กดูก็เริ่มงง index ไม่แน่ใจสำหรับสูตรกรณีทั่วไปครับ

รบกวนแนะนำแนวทางการพิสูจน์หน่อยครับ:please:

มันใช้ De Morgan law ไม่ได้เหรอครับ

ได้ครับ คือ สมมติว่า $A = \sqcup_{i=1}^n(\cap_{j=1}^{m_i} A_{i,j})$ จะได้ $$A^c = \cap_{i=1}^n \cup_{j=1}^{m_i} A_{i,j}^c$$ แต่ต้องการแสดงว่า $A^c \in \mathscr{A}(\mathscr{C})$ ก็คือ ต้องเขียน $$A^c = \sqcup \cap A_?$$ คือต้องสลับ $$\cap \cup \ \mbox{to} \sqcup \cap$$ ซึ่งติดตรงนี้อ่ะครับ

Measure theory was developed in successive stages during the late 19th and early 20th centuries
by Émile Borel, Henri Lebesgue, Johann Radon, and Maurice Fréchet, among others.

The main applications of measures are in the foundations of the Lebesgue integral,
in Andrey Kolmogorov's axiomatisation of probability theory
and in ergodic theory.

Geometric measure theory (GMT) is
the study of geometric properties of sets (typically in Euclidean space) through measure theory.
It allows mathematicians to extend tools from differential geometry to
a much larger class of surfaces that are not necessarily smooth.

Algebra of sets,
not to be confused with the mathematical structure of an algebra of sets,
defines the properties and laws of sets, the set-theoretic operations of union,
intersection, and complementation and the relations of set equality and set inclusion.
It also provides systematic procedures for evaluating expressions, and
performing calculations, involving these operations and relations.

Any set of sets closed under the set-theoretic operations forms
a Boolean algebra with the join operator being union,
the meet operator being intersection, the complement operator being set complement,
the bottom being the empty set and
the top being the universe set under consideration.