พิสูจน์ยังไงดีครับ
ให้ $ p+q=1 ; 0\leqslant r\leqslant n$ พิสูจน์ว่า
$0\binom{n}{0} p^n + 1\binom{n}{1} p^{n-1}q +...+ r\binom{n}{r} p^rq^{n-r} +...+ n\binom{n}{n} q^n = nq $ ปล.สมการนี้ไปเจอเข้าโดยบังเอิญตอนจะพิสูจน์ค่า expectation ของ binomial distribution แต่ไม่รู้จะจัดรูปยังไงให้ออกเป็น RHS. ได้ ใครมีวิธีดีๆช่วยแนะนำทีครับ:please: |
ผมคิดว่าน่าจะเป็ฯงี้
จาก $r\binom{n}{r} = n\binom{n-1}{r-1}$ จะได้ $ 0\binom{n}{0} p^n + 1\binom{n}{1} p^{n-1}q +...+ r\binom{n}{r} p^rq^{n-r} +...+ n\binom{n}{n} q^n = n[ \binom{n-1}{0} p^{n-1}q + \binom{n-1}{1} p^{n-2}q^{2}+...+\binom{n-1}{n-1}q^{n} ] $ $ = nq(p+q)^{n-1}=nq $ ถ้าเป็น $X\sim B(n,p)$ ผมว่าเราควรเขียน $E(X) = \sum_{r = 1}^{n} r\binom{n}{r}p^{r}q^{n-r}$ แล้วจะได้ $E(X) = np $ เลย ถ้าผมเข้าใจไม่ผิด แหะๆ:p |
โอ้! ขอบคุณ คุณ Tohn มากครับ :great:
|
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 21:33 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha