ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thamma (ข้อความที่ 186369)

ให้พิสูจน์ว่า

$(a+b+c)^3-(a^3+b^3+c^3) \mid (a+b+c)^{2559}-(a^{2559}+b^{2559}+c^{2559})$

$3(a+b)(b+c)(c+a) \mid (a+b+c)^{2559}-a^{2559}-(b^{2559}+c^{2559})$

จาก $(a+(b+c))^{2559}-a^{2559}=a^{2559}+\binom{2559}{1}a^{2558}(b+c)+\ldots+(b+c)^{2559}-a^{2559}$

จะได้ $(a+(b+c))^{2559}-a^{2559} \equiv 0 \bmod{(b+c)}$

และจาก $x+y \mid x^{2k+1} + y^{2k+1}$ จะได้ $\;b^{2559}+c^{2559} \equiv 0 \bmod{(b+c)}$

ดังนั้น $(b+c) \mid (a+b+c)^{2559}-(a^{2559}+b^{2559}+c^{2559})$

ในทำนองเดียวกัน จะได้

$(c+a) \mid (a+b+c)^{2559}-(a^{2559}+b^{2559}+c^{2559})$

$(a+b) \mid (a+b+c)^{2559}-(a^{2559}+b^{2559}+c^{2559})$

ดังนั้น $(a+b)(b+c)(c+a) \mid (a+b+c)^{2559}-(a^{2559}+b^{2559}+c^{2559})$

แต่สัมประสิทธิ์บางพจน์ของ $(a+b+c)^{2559}-(a^{2559}+b^{2559}+c^{2559})$ ไม่มี $3$ เป็นตัวประกอบ

คิดว่าข้อความโจทย์ไม่จริงนะ ลองคิดดู

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tngngoapm (ข้อความที่ 186371)

ถ้า$(a+b)(b+c)(c+a)หารพหุนามของตัวแปรa,b,c ได้ลงตัว..3(a+b)(b+c)(c+a)ก็จะหารพหุนามนั้นลงตัวด้วย$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thamma (ข้อความที่ 186375)

เพราะโจทย์ไม่ได้กำหนดว่า $P(x) \in \mathbb{Z}[x]$ ใช่ไหมคะ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tngngoapm (ข้อความที่ 186380)

$อาจจะประมาณนี้ครับเช่น 3(a+b)(b+c)(c+a) หาร (a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5 ได้ผลหารเท่ากับ \frac{5}{3} (a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)$
กับ $(a+b+c)^{2559}-a^{2559}-b^{2559}-c^{2559} ก็น่าจะเป็นเช่นเดียวกัน$