Eigenvalues
 

For any square $n*n$ matrix $\mathbf{A}$ prove that

1. product of eigenvalues equal to $\det{(\mathbf{A})}$
2. sum of eigenvalues equal to trace of $\mathbf{A}$

eigenvalue เป็นรากของสมการ $\det(tI-A)=0$ ดังนั้นสมมติว่า

$\det(tI-A)=(t-\lambda_1)\cdots (t-\lambda_n)$

ให้ $t=0$ จะได้ทันทีว่า $\det(-A)=(-1)^n\lambda_1\cdots\lambda_n$

$(-1)^n\det(A)=(-1)^n\lambda_1\cdots\lambda_n$

$\det(A)=\lambda_1\cdots\lambda_n$

ส่วนผลบวกของ eigenvalue ถ้าจะให้มองภาพง่ายๆคงต้องรู้จัก Jordan Form ก่อนครับ

ขอบคุณครับ เดี๋ยวผมลอง เซิชหาข้อมูลดู :)

หรืออาจจะลองมองแบบนี้ครับ
จาก $\det(tI-A)=(t-\lambda_1)\cdots (t-\lambda_n)$
เราหา $\det(tI-A)$ ออกมาตรงๆ เป็นพหุนามในรูป $t$ แล้วเทียบสัมประสิทธิ์ของ $t^{n-1}$ กับฝั่งขวาครับ

การหา det คือการเอาสมาชิก n ตัวที่ต่างหลักต่างแถวกันทั้งหมดมาคูณกันให้ครบทุกแบบ แล้วบวกกันพร้อมกับใส่เครื่องหมาย
จะเห็นว่า พจน์ $t^{n-1}$ เกิดได้เฉพาะจากเทอม $(t-a_{11})(t-a_{22})...(t-a_{nn})$ เท่านั้น
จึงได้สัมประสิทธิ์ของ $t^{n-1}$ คือ -trace(A) ครับ