Mathcenter Forum

Mathcenter Forum (https://www.mathcenter.net/forum/index.php)
-   ข้อสอบในโรงเรียน ม.ปลาย (https://www.mathcenter.net/forum/forumdisplay.php?f=21)
-   -   ข้อสอบเพชรยอดมงกุฏ (https://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=16374)

จูกัดเหลียง 20 พฤษภาคม 2012 12:29

ข้อสอบเพชรยอดมงกุฏ
 
อยากได้เเนวคิดหน่อยครับ เพราะผมไม่ค่อยจะรู้เรื่องเลย = =
1.หาค่าสูงสุด,ต่ำสุดของ $f(x)=\sqrt{8x-x^2}-\sqrt{14x-x^2-48}$
2.จงหาช่วงของ $$S=\sum_{i=1}^{256}\left\lfloor\,\log_2 i\right\rfloor $$ ที่เเคบๆนะครับ เช่น $2000>S\ge 1550$
3.จงหาผลรวมของ $x$ ซึ่งสอดคล้องกับ
$(i)$ เป็นจำนวนเต็มที่ $10^3<x<10^4$
$(ii)$ หลักหน่วยหรือหลักพันเป็น $3$

ปล.ปีนี้สมัครประมาณไหนเหรอครับ

PP_nine 20 พฤษภาคม 2012 13:36

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง (ข้อความที่ 140415)
2.จงหาช่วงของ $$S=\sum_{i=1}^{256}\left\lfloor\,\log_2 i\right\rfloor $$ ที่เเคบๆนะครับ เช่น $2000>S\ge 1550$

ข้อนี้ต้องสังเกตนิดเดียวเองครับ
$$\lfloor \log_2 1 \rfloor = 0$$
$$\lfloor \log_2 2 \rfloor = \lfloor \log_2 3 \rfloor =1$$
$$\lfloor \log_2 4 \rfloor = \lfloor \log_2 5 \rfloor = \lfloor \log_2 6 \rfloor = \lfloor \log_2 7 \rfloor =2$$
$$\lfloor \log_2 8 \rfloor = \lfloor \log_2 9 \rfloor = \lfloor \log_2 10 \rfloor = \cdots = \lfloor \log_2 15 \rfloor =3$$
โดยที่จำนวนในแต่ละแถว เป็น 2 ยกกำลังค่านั้น (ยกเว้น 256) ดังนั้น สุดท้ายแล้วมันก็คือผลรวม
$$1(0)+2(1)+4(2)+8(3)+16(4)+32(5)+64(6)+128(7)+1(8)$$
ได้เท่าไหร่ก็ตอบเป็นช่วงได้แล้วครับ

ส่วนเรื่องการรับสมัครต้องให้โรงเรียนส่งรายชื่อมาครับ จึงต้องไปสมัครกับทางโรงเรียนเอง

~ArT_Ty~ 20 พฤษภาคม 2012 15:28

สมัครประมาณช่วงเดือนกรกฎาครับ หรือจะติดตามในเว็บนี้ก็ได้ครับ

หยินหยาง 20 พฤษภาคม 2012 22:06

เรื่องการสมัครตาม #2 แต่ถ้าไม่ได้เป็นตัวแทนโรงเรียนก็ให้อาจารย์ที่โรงเรียนส่งรายชื่อไปขอแข่งแบบคู่ขนานดูครับ สมัยก่อนไปติดต่อที่สนามแข่งในวันแข่งเลย แต่เดี๋ยวนี้คงยาก เพราะทำกันเยอะทำให้ไม่สามารถจัดข้อสอบและที่นั่งได้เพียงพอ

จูกัดเหลียง 21 พฤษภาคม 2012 19:06

ขอบคุณทุกๆท่านครับ :)

Oriel 22 พฤษภาคม 2012 20:25

ข้อ1.
$f(x)=\sqrt{8x-x^2}-\sqrt{14x-x^2-48}$
$f(x)=\sqrt{x(8-x)}-\sqrt{(x-6)(8-x)}$
พบว่า $6\leqslant x\leqslant 8$
แทนค่าดูก็จะได้ค่ามากสุดเป็น $2\sqrt{6}$ และค่าน่อยสุดเป็น $0$ ครับ
ไม่รู้ว่าถูกรึปล่าว?

Oriel 22 พฤษภาคม 2012 20:50

ข้อ 3. ได้ $41599899$ รึปล่าวครับ?

poper 22 พฤษภาคม 2012 22:45

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Oriel (ข้อความที่ 140522)
ข้อ1.
$f(x)=\sqrt{8x-x^2}-\sqrt{14x-x^2-48}$
$f(x)=\sqrt{x(8-x)}-\sqrt{(x-6)(8-x)}$
พบว่า $6\leqslant x\leqslant 8$
แทนค่าดูก็จะได้ค่ามากสุดเป็น $2\sqrt{6}$ และค่าน่อยสุดเป็น $0$ ครับ
ไม่รู้ว่าถูกรึปล่าว?

$2\sqrt{3}$ สินะครับ

Oriel 22 พฤษภาคม 2012 23:04

อ่อๆ ใช่ครับๆ ขอบคุณครับ

จูกัดเหลียง 31 พฤษภาคม 2012 19:29

#6 เเทนยังไงเหรอครับ
มีมาถามเพิ่มอีกครับ 1.ถ้า $f(x)=x^3+2x-3$ เเละ $g=f^{-1}(x)$ จงหาค่าของ $\lim_{x\rightarrow 1} \dfrac{f(g(x^2+x)-2)}{x-1}$ ทำยังไงอ่ะครับ :please:
2.จงหาค่าของ $$\sqrt{\lim_{x\rightarrow -5} \Big|\frac{x^2-25}{\sqrt{30-\sqrt{x^2-5}}}\Big|}$$ ปล.ข้อนี้มันเป็น $0$ หรือเปล่าครับ
3.กำหนด $m,n,a,b\in\mathbb{Z}$ เเละ $gcd(28,42)=28m+42n$ จงหา $m+n$ ปล.ข้อนี้มันมีมากมายเลยไม่ใช่เหรอครับ

กิตติ 02 มิถุนายน 2012 15:47

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Oriel (ข้อความที่ 140522)
ข้อ1.
$f(x)=\sqrt{8x-x^2}-\sqrt{14x-x^2-48}$
$f(x)=\sqrt{x(8-x)}-\sqrt{(x-6)(8-x)}$
พบว่า $6\leqslant x\leqslant 8$
แทนค่าดูก็จะได้ค่ามากสุดเป็น $2\sqrt{6}$ และค่าน่อยสุดเป็น $0$ ครับ
ไม่รู้ว่าถูกรึปล่าว?

ลองแยกออกมาเป็น
$f(x)=\sqrt{8-x}\left\{\,\sqrt{x} -\sqrt{x-6} \right\} $
พิจารณาในช่วง $6\leqslant x\leqslant 8$
$0\leqslant 8-x\leqslant 2$
$0\leqslant \sqrt{8-x}\leqslant \sqrt{2} $
เหลือแต่พิจารณา $\sqrt{x} -\sqrt{x-6}$
ซึ่งเรารู้อยู่แล้วว่า $x>x-6$ ในช่วงของ $6\leqslant x\leqslant 8$
ดังนั้น $\sqrt{x} >\sqrt{x-6} $
จะได้ว่า $\sqrt{x} -\sqrt{x-6}>0$
ดังนั้นผลคูณของทั้งสองเทอมนั้น มีค่าต่ำสุดคือ $0$
ค่าสูงสุดของผลคูณเกิดเมื่อทั้งสองเทอมมีค่าสูงสุด
$\sqrt{8-x}$ มีค่าสูงสุดเมื่อ $x=6$ และ $\sqrt{x} -\sqrt{x-6}$ จะเกิดค่าสูงสุดเมื่อ $x=6$ เช่นกัน
ดังนั้น $\sqrt{8x-x^2}-\sqrt{14x-x^2-48}$ มีค่าสูงสุดคือ $2\sqrt{3} $

กิตติ 02 มิถุนายน 2012 16:03

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง (ข้อความที่ 140415)
3.จงหาผลรวมของ $x$ ซึ่งสอดคล้องกับ
$(i)$ เป็นจำนวนเต็มที่ $10^3<x<10^4$
$(ii)$ หลักหน่วยหรือหลักพันเป็น $3$

ตีความหมายว่า ระหว่างเลข $1,000-10,000$ จำนวนที่มีเลข3ในหลักหน่วยหรือหลักพัน มีผลรวมเท่ากับเท่าไหร่
ผลรวมของเลขที่มี3ในหลักหน่วย เลขที่มี3ในหลักหน่วยมีทั้งหมด เท่ากับ $9\times 10\times 10=900$
ผลรวมเลขที่มี3ในหลักหน่วยเท่ากับ
$1000\times 100\times (1+2+3+4+5+6+7+8+9)$
$+100\times 10\times (1+2+3+4+5+6+7+8+9)$
$+10\times (1+2+3+4+5+6+7+8+9)$
$+3\times 900$

$=45(100000+1000+10)+2700$
$=4507245$

ผลรวมของเลขที่มี3ในหลักพัน
เลขที่มี3ในหลักพัน มีทั้งหมดเท่ากับ $1000$ จำนวน
ผลรวมเลขที่มี3ในหลักพันเท่ากับ
$3,000\times 1000$
$+100\times (1+2+3+4+5+6+7+8+9)$
$+10\times (1+2+3+4+5+6+7+8+9)$
$+(1+2+3+4+5+6+7+8+9)$

เท่ากับ $3000000+(111\times 45)$
$=3004995$

แต่มีการนับซ้ำในกรณีที่จำนวนนั้นขึ้นต้นหลักพันด้วย 3 และลงท้ายหลักหน่วยด้วย3 อีก 100 จำนวนซึ่งมีผลรวมเท่ากับ
$3003\times 100+101\times (1+2+3+4+5+6+7+8+9) $
$=304845$

ดังนั้นผลรวมเท่ากับ $7512240-304845=7207395$ ลืมลบออกอีก 1000 เพราะโจทย์ไม่รวมเลข 1000
ดังนั้นเหลือ 7206395

gon 07 มิถุนายน 2012 22:19

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง (ข้อความที่ 140867)
#6 เเทนยังไงเหรอครับ
มีมาถามเพิ่มอีกครับ 1.ถ้า $f(x)=x^3+2x-3$ เเละ $g=f^{-1}(x)$ จงหาค่าของ $\lim_{x\rightarrow 1} \dfrac{f(g(x^2+x)-2)}{x-1}$ ทำยังไงอ่ะครับ :please:
2.จงหาค่าของ $$\sqrt{\lim_{x\rightarrow -5} \Big|\frac{x^2-25}{\sqrt{30-\sqrt{x^2-5}}}\Big|}$$ ปล.ข้อนี้มันเป็น $0$ หรือเปล่าครับ
3.กำหนด $m,n,a,b\in\mathbb{Z}$ เเละ $gcd(28,42)=28m+42n$ จงหา $m+n$ ปล.ข้อนี้มันมีมากมายเลยไม่ใช่เหรอครับ

ข้อ 1. ตรงวงเล็บ น่าจะไม่ถูกที่ครับ ควรจะเป็น

$$\lim_{x\rightarrow 1} \dfrac{f(g(x^2+x))-2}{x-1}$$
แบบนี้มากกว่า ถ้าใครมีหนังสือที่เขาพิมพ์เฉลยจากต้นฉบับที่ถูกจริง ๆ ลองตรวจดูให้หน่อยครับ.

ข้อที่เหลือก็ตามนั้นครับ.


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 02:44

Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha