สมการตรีโกณมิติ
 

ช่วยแก้สมการตรีโกณมิติด้วยนะคะ
sin5x+cos5x = 0

จะได้ว่า $sin5x=cos5x$

ทำให้ $5x=\frac{3\pi }{4},\frac{7\pi }{4} $

$\therefore x=\frac{3\pi }{20}+2n\pi ,\frac{7\pi }{20}+2n\pi $ $n\in \mathbb{N} $

$ \sin 5x = -\cos 5x \Rightarrow \tan 5x = -1$

จากนั้น ก็ดูว่ามี tan ของมุมไหนเป็น -1 บ้าง

$sin5x+cos5x=0$
ยกกำลังสองทั้งสองข้างจะได้ว่า$1+2sin5xcos5x=0$
$sin10x= -1$
$10x=\frac{3\pi }{2} $
$x= \frac{3\pi }{20}+2n\pi $ เมื่อ$n=0,1,2,...$

อันนี้วิธีของผมนะครับ

$sin5x + cos5x = 0$

$sin5x = -cos5x$

$tan5x = -1$

$5x = \frac{3\pi }{4} , \frac{7\pi }{4}$

$x = \frac{3\pi }{20} , \frac{7\pi }{20} +2n\pi $

การยกกำลังสองทำให้คำตอบบางค่าถูกลบออกไป...วิธีของน้องถูกแล้วครับ

การยกกำลังสองไม่ืทำให้คำตอบหายครับ แต่อาจทำให้สิ่งที่ไม่ใช่คำตอบติดมาด้วย

วิธีข้างบนก็ยังไม่ถูกนะครับ เช่นเพราะ $\frac{11\pi}{4}$ ก็เป็นคำตอบครับ
หาที่ผิดเจอไหมครับ?

$\sin 5x + \cos 5x = 0$

$\sin 5x\frac{1}{\sqrt{2}} + \cos 5x\frac{1}{\sqrt{2}} = 0$

$\sin(5x+\frac{\pi}{4}) = 0$

$5x + \frac{\pi}{4} = n\pi$

$x = \frac{(4n-1)\pi}{20}$

สงสัยมานานละครับ วิธีของคุณกิตติ ถ้าเรานั่งนึกค่า x ที่ทำให้เป็น -1 ไปเรื่อยๆ ก็อาจจะมี $\frac{5\pi}{2} $ , หรือ $\frac{7\pi}{2} $ ซึ่งก็มีคำตอบที่ผิดเองมาด้วย ถ้าเป็นผมก็คงต้องมานั่งไล่แทนค่าดูว่า อันไหนเป็นจริง ตัวปัญหาน่่าจะเป็นการที่เรากำลังสองหรือเปล่าครับ เพราะคำตอบเกิน ชอบมาจากการกำลังสองทุกทีเลย

ปกติการยกกำลังสองมักทำให้คำตอบเกินมา แต่ข้อนี้คำตอบไม่เกินครับ ทั้ง $\frac{5\pi}{2}$ และ $\frac{7\pi}{2}$ ใช้ได้ครับ
เหตุผลที่คำตอบไม่เกินก็เพราะว่า $a^2=0\Leftrightarrow a=0$ ครับ (ข้อความนี้ไม่จริงถ้าเปลี่ยน 0 เป็นจำนวนบวก)


โดยทั่วไป แต่ละบรรทัดในการแก้สมการของเรา จะเชื่อมด้วยเครื่องหมาย "ถ้า..แล้ว.." เช่น
$\sin 5x+\cos 5x=0$
$\Rightarrow (\sin 5x+\cos 5x)^2=0$
$\Rightarrow 1+2\sin 5x\cos 5x=0$
...
$\Rightarrow x=\frac{(4n-1)\pi}{20}$ สำหรับบางจำนวนเต็ม $n$


ดังนั้นการแก้สมการของเรามีความหมายว่า
ถ้า $x$ สอดคล้องสมการ $\sin 5x+\cos 5x=0$ แล้ว $x=\frac{(4n-1)\pi}{20}$ สำหรับบางจำนวนเต็ม $n$
นั่นคือ สิ่งที่มีโอกาสเป็นคำตอบของสมการได้คือ $\frac{(4n-1)\pi}{20}$ โดยที่ $n$ เป็นจำนวนเต็มเท่านั้น
ไม่ได้แปลว่าทุกตัวที่เราได้มา เป็นคำตอบของสมการนั้นๆ
เราจึงต้องนำไปแทนค่ากลับเสมอ


แต่ส่วนใหญ่แล้ว(เวลาเราทำโจทย์) สิ่งที่ได้ออกมามักเป็นคำตอบของสมการทุกตัว จึงทำให้เรามักลืมนำไปแทนค่ากลับ
การที่เราไม่ค่อยจะได้คำตอบเกินมาก็เพราะ ส่วนใหญ่เครื่องหมาย "ถ้า..แล้ว.." สามารถเปลี่ยนเป็นเครื่องหมาย "ก็ต่อเมื่อ" ได้
นั่นก็คือเราสามารถย้อนจากง่ายขึ้นบนได้ เช่น
$2x+5=11\Rightarrow 2x=6\Rightarrow x=3$
เราสามารถย้อนเป็น $x=3\Rightarrow 2x=6\Rightarrow 2x+5=11$ ได้


ส่วนกรณีของการยกกำลังสอง เรามักจะไม่สามารถทำย้อนกลับได้ เพราะว่า $a^2=4\not\Rightarrow a=2$
คำตอบที่เกินมาจะเป็นค่าที่ทำให้ $a=-2$


แต่ข้อนี้เราสามารถทำย้อนกลับได้ ก็เพราะ $(\sin 5x+\cos 5x)^2=0\Rightarrow\sin 5x+\cos 5x=0$ เป็นจริง นั่นเอง

ขอบคุณครับ ทำให้ผมเข้าใจขึ้นเยอะเลยครับ แต่ก่อน เจอสมการตรีโกณ ก็คงแต่อาจจะต้องแอบๆจำ ว่าทำแบบไหนถึงจะได้คำตอบครบ หรือไม่ก็ต้องตรวจคำตอบเหนื่อยเลย

สำหรับข้อนี้ได้ความรู้และทริคเพิ่มมากเลยครับ
ผมเห็นด้วยว่า$a^2=4\not\Rightarrow a=2$ จริงๆแล้วเราควรแก้สมการเป็น$a^2-4=0 \rightarrow (a+2)(a-2)=0 \rightarrow a=2,-2$....

ในความเห็นที่ 2,3,4 ยังมีจุดที่พลาดอยู่นะครับ อยากให้หาให้เจอ
(เห็นได้จากคำตอบที่ไม่ตรงกับคำตอบที่ถูกของคุณดาวสามดวง)

สำหรับผมคิดว่าคงเป็นการสรุปในขั้นตอนนี้
$sin10x= -1$
$10x=\frac{3\pi }{2} $.......ตรงนี้ครับที่สรุปผิด
$x= \frac{3\pi }{20}+2n\pi $ เมื่อ$n=0,1,2,...$.......ตรงนี้ครับที่สรุปผิด
ผิดตรงที่ไม่ได้เอา$10$ไปหารพจน์$2n\pi $ด้วย

$10x=\frac{3\pi }{2} ,\frac{3\pi }{2}+2\pi,\frac{3\pi }{2}+4\pi,...,\frac{3\pi }{2}+2n\pi$

$10x=\frac{3\pi }{2} ,\frac{7\pi }{2},\frac{11\pi }{2},...,\frac{3\pi }{2}+2n\pi$

$x=\frac{3\pi }{20} ,\frac{7\pi }{20},\frac{11\pi }{20},...,\frac{3\pi }{20}+\frac{n\pi}{5} $

$x=\frac{4n+3\pi}{20} $ เมื่อ$n=0,1,2,...$

ใช่แล้วครับ แต่อย่าลืมว่า n เป็นลบได้ด้วย