|
[สอวน. สวนกุหลาบ 2559] ข้อสอบ สอวน.ค่าย 2/2559 ศูนย์สวนกุหลาบวิทยาลัย
5 ไฟล์และเอกสาร
ปีนี้พิเศษ คัดแค่ 18 คน ไม่มีค่าย 3 ครับ เลยอาจยากเป็นพิเศษ
ผมทำไม่ค่อยได้เลย เข้าค่ายครั้งแรก ไม่ติดผู้แทนศูนย์แน่ ๆ ครับ :(:(:cry::cry::tired: |
ตามข้อสอบที่ให้มาพีชคณิตข้อ4.....จงหารากของสมการ $x^5-5x^2+2=0$
แยกตัวประกอบได้$x^5-5x^2+2=(x^2-x-1)(x^3+x^2+2x-2)$ ครับ |
พีชคณิต ข้อสี่ ไม่ทราบว่ามีเทคนิคในการเเยกตัวประกอบยังไงอ่ะคับ
|
อ้างอิง:
.....อันดับแรกต้องวิเคราะห์รากสมการก่อนครับว่ามีรากเป็นจำนวนตรรกยะหรือไม่จะเห็นว่าไม่มี แสดงว่ารากสมการของ $x^5-5x^2+2$ ต้องเป็นจำนวนอตรรกยะหรือจำนวนเชิงซ้อนที่เป็นคู่สังยุคกัน จำนวน 2 คู่ และรากอีกหนึ่งตัวต้องเป็นจำนวนอตรรกยะแสดงว่าต้องมีพหุนามกำลังสองที่สามารถหาร $x^5-5x^2+2$ ได้ลงตัว สมมติให้เป็น $x^2-ax+b$ ......ตั้งหารยาว $x^2-ax+b$ หาร $x^5-5x^2+2$ ได้เศษ $[b^2-3a^2b+(a^4-5a)]x+[2ab^2+(5-a^3)b+2]$ แสดงว่า $b^2-3a^2b+(a^4-5a)=0....(1) และ 2ab^2+(5-a^3)b+2=0.......(2)$ (คราวนี้ก็เป็นงานเดาล่ะครับ แต่ไม่ถึงกับมั่วนะครับมันมีเทคนิคในการเดาอยู่) a,b ต้องเป็นจำนวนเต็ม สรุปได้ $a=1,b=-1$ แสดงว่า $x^2-x-1$ เป็นตัวระกอบของ $x^5-5x^2+2$ |
2 ไฟล์และเอกสาร
โดยรวม เรขายากขึ้น, NT เท่าเดิม, Algebra ยากขึ้นครับ ข้างล่างนี้เป็นวิธีทำโดยย่อครับ
จาก Law of Sine $$\frac{AR}{RC}=\frac{\dfrac{AR}{DR}}{\dfrac{RC}{DR}}=\frac{\dfrac{\cos(\angle RDC)}{\sin A}}{\dfrac{\sin(\angle RDC)}{\cos A}}=\frac{\cot(\angle RDC)}{\tan A}$$ ในทำนองเดียวกัน $\dfrac{CQ}{QB}=\dfrac{\tan B}{\cot(\angle QDC)}$ แต่จาก Ceva $\dfrac{AR}{RC}\cdot \dfrac{CQ}{QB}=\dfrac{AD}{BD}$ คูณสองสมการแรก จะได้ $$\frac{AD}{BD}=\frac{\cot(\angle RDC)}{\cot(\angle QDC)}\frac{\tan B}{\tan A}=\frac{\cot(\angle RDC)}{\cot(\angle QDC)}\frac{\dfrac{DC}{BD}}{\dfrac{DC}{AD}}$$ ซึ่งให้การเท่ากันที่ต้องการ ให้ $S=CD\cap QR, T=QR\cap AB$ จาก $CD,BR,AQ$ concurrent จะได้ $(S,T:Q,R)=-1$ แต่ $\angle SDT=90^{\circ}$ ซึ่งให้การแบ่งครึ่งมุมที่ต้องการ Attachment 19165 ใช้จำนวนเชิงซ้อน ให้ $a,b,c,p,m,q$ แทนจำนวนเชิงซ้อนที่สมนัยกับ $A,B,C,P,M,Q$ ตามลำดับ จากรูป สังเกตว่า $A$ เกิดจากการหมุน $B$ รอบ $P$ ไป $90^{\circ}$ จะได้ $$(a-p)=i(b-p)\implies p=\frac{a-bi}{1-i}$$ ทำนองเดียวกัน จะได้ $q=\dfrac{b-ci}{1-i}$ และ $m=\dfrac{a+c}{2}$ ดังนั้น $$\frac{p-m}{q-m}=\frac{2(a-bi)+(-1+i)(a+c)}{2(b-ci)+(-1+i)(a+c)}=\dfrac{a-2bi+(-1+i)c}{ai+2b+(-1-i)c}=-i$$ ซึ่งหมายความว่า $PM=QM$ และ $PM\perp QM$ ตามต้องการ Attachment 19166 ใช้จำนวนเชิงซ้อน ให้ $a,b,c,p,q,r,s$ แทนจำนวนเชิงซ้อนที่สมนัยกับ $A,B,C,P,Q,R,S$ ตามลำดับ ทำนองเดียวกับ 2.1 จะได้ $p=\dfrac{a-bi}{1-i},q=\dfrac{b-ci}{1-i},r=\dfrac{c-di}{1-i},s=\dfrac{d-ai}{1-i}$ ดังนั้น $$\dfrac{p-r}{q-s}=\dfrac{a-bi-c+di}{ai+b-ci-d}=-i$$ ซึ่งหมายความว่า $PR=QS$ และ $PR\perp QS$ ตามต้องการ ให้สามเหลี่ยม orthic เป็น $\Delta DEF$ เมื่อ $AD,BE,CF$ เป็นส่วนสูง สะท้อน $D$ ข้าม $AB,AC$ เป็น $D_1,D_2$ โดยการไล่มุมจะได้ $D_1,E,F,D_2$ colinear นั่นคือเส้นรอบรูปที่โจทย์บอกคือ $D_1D_2$ แต่ $AD_1=AD_2=AD$ เพราะฉะนั้นโดย triangle inequality จะได้ $D_1D_2<AD_1+AD_2=2AD$ ตามต้องการ ให้ $\Delta=[ABC],a=BC,b=CA,c=AB$ ทำนองเดียวกับข้อ 3.1 ไล่มุมเพิ่มเติม จะได้ $\angle D_1AD_2=2A$ ดังนั้น จะได้ว่า $D_1D_2=2AD\sin A=4\dfrac{\Delta\sin A}{a}=\dfrac{2\Delta}{R}$ ดังนั้น $\dfrac{D_1D_2}{a+b+c}=\dfrac{2\Delta}{R(a+b+c)}=\dfrac{r}{R}$ ตามต้องการ Second Lemoine Circle ไล่มุมครับ (ผมก็จำรายละเอียดไม่ได้แล้วเหมือนกันครับ) กวน? ตอบ $p-1$ ใช้ Fermat, Wilson หา $x,y,z$ ในรูป $m$ จะได้ $9x=10^{2m}-1,9y=10\cdot 10^m-1,9z=6\cdot 10^m-6$ เลือก $n=2\cdot 10^m+33$ จะได้ $$9(x+y+z+n)=10^{2m}-1+10\cdot 10^m-1+6\cdot 10^m-6+18\cdot 10^m+297=10^{2m}+34\cdot 10^m+289=(10^m+17)^2$$ ตามต้องการ ขาไปชัดเจน ส่วนขากลับ ให้ $n$ เป็นจำนวนประกอบ ดู $\sigma(n)$ bound ตัวหารที่ไม่ใช่ 1 เป็น $n$ ให้หมด นั่นคือ $\sigma(n)<1+(n-1)\tau(n)$ แต่ $\phi(n)<n-1$ ดังนั้น $\phi(n)+\sigma(n)<n\tau(n)$ ตามต้องการ เลือก prime $2nk$ ตัว $p_{i,j}$ เมื่อ $i\in\{1,2,...,2n\},j\in\{1,2,...,k\}$ ที่ไม่ซ้ำกัน โดย CRT มีจำนวนนับ $M$ ที่ทำให้ $$M+i\equiv 0\pmod{p_{i,1}p_{i,2}...p_{i,k}}$$ สำหรับทุกๆ $i\in\{1,2,...,2n\}$ ดังนั้น $M+1,M+2,...,M+2n$ สอดคล้องกับโจทย์ Well known มาก ตอบ $p\equiv 1,2\pmod 4$ $p=2$ แยกออกไป พิจารณาเฉพาะ $2\nmid p$ ให้ $x$ เป็นคำตอบ จะได้ $$1\equiv x^{p-1}\equiv (-1)^{\frac{p-1}{2}}\pmod p$$ ซึ่งให้ว่า $p\equiv 1\pmod 4$ ส่วนอีกขานึง พิจารณา $$-1\equiv (p-1)!\equiv (1)(2)...\left(\frac{p-1}{2}\right)(-1)(-2)...\left(-\frac{p-1}{2}\right)\equiv (-1)^{p-1}{2}\left(\frac{p-1}{2}\right)!^2\equiv \left(\frac{p-1}{2}\right)!^2\pmod p$$ ซึ่งให้ผลตามต้องการ |
ขอบคุณมากคับ
|
ผมอยากทราบวิธีคิดข้อ3 คอมบิครับ อยากรู้ว่าจะได้คำตอบตรงกันมั้ย
|
ขอซ่อนไว้ก่อนละกันเผื่อใครมีไอเดียอย่างอื่น ;)
ทำคล้ายๆฟังก์ชันก่อกำเนิด คือพิจารณาว่าโอกาสที่จะหยิบได้สีแดงเป็นจำนวน $r$ เท่ากับ สปส ของ $x^r$ ในพหุนาม $P(x)=\dfrac{(2+x)(4+x)\cdots (2n+x)}{3 \ast 5 \ast \cdots \ast (2n+1)}$ โอกาสที่จะหยิบได้สีแดงเป็นจำนวนคี่จึงเท่ากับ $\dfrac{P(1)-P(-1)}{2} = \dfrac{n}{2n+1}$ |
ขอวิธีการสร้างgenerating function แบบละเอียดได้มั้ยครับ
|
ขอเเนวความคิด ฟังก์ชั่นข้อ 5 หน่อยคับ
|
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
แต่คำตอบที่ผมได้ไม่น่าจะครบนะครับ อิอิ :haha: |
อ้างอิง:
แนะนำเว็บนี้ครับ http://imomath.com/index.php?options=353&lmm=1 |
อ้างอิง:
Idea ของมันคือพิสูจน์ว่าถ้า $\forall x \forall y, f(\dfrac{x+y}{2}) \le \dfrac{f(x)+f(y)}{2} - k \left| x-y \right|$ แล้ว $\forall x \forall y, f(\dfrac{x+y}{2}) \le \dfrac{f(x)+f(y)}{2} - ck \left| x-y \right|$ เมื่อ $c$ เป็นอะไรสักอย่างที่มากกว่า $1$ แล้วก็ทำไปเรื่อยๆเป็นอนันต์ครั้งก็จะขัดแย้ง แต่แน่นอนว่าการเขียนถ้าจะให้ดูดี อาจจะต้องใช้ supremum, infremum มาช่วย เขียนให้รัดกุมอาจจะยากเล็กน้อยครับ ส่วนวิธีพิสูจน์ข้อความดังกล่าวก็ไล่ไปเรื่อยๆน่ะแหละ ตามแบบฉบับทั่วไป |
พีชคณิตข้อ2 ........คิดว่าตอบ $P(2n+2)=\frac{2^{(2n+2)}-1}{2n+3} $นะครับ
|
| เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 17:00 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha