Find some solution???
 

1.จงพิสูจน์ว่า พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์ทุกตัวเป็นจำนวนจริง และ มีเลขดีกรีของพหุนามที่สูงสุดเป็นจำนวนคี่ แล้วจะมีรากเป็นจำนวนจริงอย่างน้อย 1 ราก

คือตอนแรกผมก็คิดแบบคุณนะละครับ ซึ่งจะทำให้สมการเป็นคู่สมนัยกัน แต่เมื่อผมไปถามอาจารย์
แล้วก็พบคำตอบว่า ถ้าเราไม่พิสูจน์โดยใช้เชิงซ้อนจะได้ไหม....

ซึ่งทำให้ผมคิดหนักเลย

ให้ $P(x)=x^n+a_1x^{n-1}+\cdots$ โดย $n$ เป็นเลขคี่ ดังนั้น $P(x)\to+\infty$ เมื่อ $x\to+\infty$ และ $P(x)\to-\infty$ เมื่อ $x\to-\infty$ เพราะฉะนั้นกราฟของ $P(x)$ ต้องตัดแกน $x$ นั่้นคือ $P$ มีรากเป็นจำนวนจริง

ไม่เคลียครับ

คือเรารู้ว่า $P(x)$ จะมีค่าติดลบเมื่อ $x$ เข้าใกล้ $-\infty$ และ $P(x)$ จะมีค่าบวกเมื่อ $x$ เข้าใกล้ $\infty$ น่ะครับ เพราะฉะนั้นมันจะต้องตัดแกน $x$ ที่ใดที่หนึ่ง ตำแหน่งที่มันตัดก็จะเป็นค่า $x$ ที่ทำให้ $f(x)=0$ นั่นเองครับ

แต่ว่าจะพิสูจน์ยังไงว่า $P(x)\rightarrow +\infty$ เมื่อ $x\rightarrow +\infty$ ครับ?

ผมว่าถ้าไม่ใช้จำนวนเชิงซ้อนจะยากกว่ามากเลยครับ:cry:

แต่การใช้กราฟช่วย มันทำให้ดูง่ายขึ้นนะครับว่า กราฟ ต้องตัดแกน x และต้องตัดเป็นจำนวนคี่ครั้งด้วย

ผมว่า " สิบปากว่า ไม่เท่าตาเห็น" นะครับ :rolleyes::D

เช่นกราฟกำลังห้านี้ครับ

ก็อย่างที่คุณ Punk กับคุณ owlpenguin บอกมันก็ใช่นะครับ แต่มันยากก็ไอ้ตอนพิสูจน์นี่สิ
ถ้าแสดงได้ว่า จะมีจุดหนึ่งที่ค่าฟังก์ชันเป็นบวก และอีกจุดหนึ่งมีค่าฟังก์ชันเป็นลบ เราก็สามารถใช้ intermediate value theorem มาสรุปได้ทันที