อสมการ
 

ให้ $A$ เป็นสับเซตของ $\mathbb{R} $ ที่ไม่ใช่เซตว่าง กำหนดสัญลักษณ์ $min A$ หมายถึงสมาชิกในเซต $A$ ที่มีค่าน้อยที่สุด และ $max A$ หมายถึงสมาชิกในเซต $A$ ที่มีค่ามากที่สุด , กำหนดให้ $a_i,b_i>0$ สำหรับ $i=1,2,3,...,n$ จงพิสูจน์ว่า $$\displaystyle{min(\frac{a_1}{b_1},\frac{a_2}{b_2},...,\frac{a_n}{b_n})\leqslant \frac{a_1+a_2+...+a_n}{b_1+b_2+...+b_n}\leqslant max(\frac{a_1}{b_1},\frac{a_2}{b_2},...,\frac{a_n}{b_n})}$$

WLOG
$\frac{a_1}{b_1}\leq\frac{a_2}{b_2}\leq...\frac{a_n}{b_n}$
เห็นได้ว่าสำหรับ $\frac{a_i}{b_i}$ ใดๆ
$\frac{a_1}{b_1}\leq \frac{a_i}{b_i}$
นั้นคือ
$a_1b_i\leq a_ib_1$
และเพราะว่า
$\frac{a_i}{b_i}\leq \frac{a_n}{b_n}$
นั้นคือ
$a_ib_n\leq a_nb_i$
ทีนี้ก็ลองคูณกระจายดูเอาเองละกันนะครับว่าจะเกิดอะไรขึ้นในเมื่อ
$min=\frac{a_1}{b_1}$
$max=\frac{a_n}{b_n}$

โจทย์ 2 ข้อ ที่คุณ Maphybich โพสต์มานี่เอามาจากไหนครับ รู้สึกว่ามันคุ้นๆอยู่ :confused:

เป็นโจทย์จากหนังสือ อสมการ เล่มของ สสวท ที่เขียนโดย อาจารย์วิชาญ รึเปล่าครับ

ให้ $m=\min\Big(\dfrac{a_1}{b_1},\dfrac{a_2}{b_2},...,\dfrac{a_n}{b_n}\Big)$

$M=\max\Big(\dfrac{a_1}{b_1},\dfrac{a_2}{b_2},...,\dfrac{a_n}{b_n}\Big)$

จะได้

$m\leq\dfrac{a_1}{b_1}\leq M$

$m\leq\dfrac{a_2}{b_2}\leq M$

$~~~~~~~~\vdots$

$m\leq\dfrac{a_n}{b_n}\leq M$

ดังนั้น

$mb_1\leq a_1\leq Mb_1$

$mb_2\leq a_2\leq Mb_2$

$~~~~~~~~~~\vdots$

$mb_n\leq a_n\leq Mb_n$

เราจึงได้

$m(b_1+b_2+\cdots + b_n)\leq a_1+a_2+\cdots + a_n\leq M(b_1+b_2+\cdots+b_n)$

$m\leq \dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{b_1+b_2+\cdots+b_n}\leq M$ :yum:

โจทย์แบบฝึกหัดในเล่มอสมการของสอวน.ศูนย์สวนกุหลายค่ายตุลาไงครับ :happy:

จำได้ว่าตอนค่ายตุลาคุณ owlpenguin เทพวิชานี้ไม่ใช่เหรอครับ :p

จำผิดแล้วครับ คนที่เทพอสมการ น่ะ ก็คุณ dektep นั่นแหละ
ผมอ่อนอสมการจะตายครับ:sweat:

อะไรกันครับ คุณ owlpenguin เทพวิชานี้แหละครับ คุณ dektep พูดถูกแล้ว :great:

ขอเพิ่มเติมครับ คุณ owlpenguin ไม่ได้เก่งแต่วิชานี้วิชาเดียวนี่ครับ เห็นได้เยอะทุกวิชาเลย
เทพไปหมดเลยนะครับ แบบนี้ใครจะไปสู้ได้ เก่งครับเก่ง :please: 555

อย่างงี้มันไซโคกันเห็นๆแล้วครับ :dry: จะรุมไซโคคนไม่เก่งอย่างผมทำไมครับ ทั้งเหรียญเงินเหรียญทอง รอบ 2 (dektep, anonymous314)...

คุณ owlpenguin ก็เหรียญเงินนิครับ เก่งจริงๆๆๆเลยครับ เก่งครับเก่งๆ ดูสวะอย่างผมดิครับ เหรียญอ่อนสุดแล้ว

เก่งจริงๆเลยครับคุณ owlpenguin ได้ที่ก่อนหน้าผมอีก เก่งครับเก่ง เก่งสุดแล้ว สุดยอด !!!!!

รู้สึกสมัยนี้ การไซโคเป็นที่นิยมนะครับ:dry: แต่เอาเหอะครับ ไซโคไปเหอะ แค่รู้อย่างเดียวว่าผมไม่เก่งหรอกครับ:) จริงๆครับ:)

อะไรกันครับ คุณ owlpenguin เก่งสุดแล้วครับ :great: