ทำให้ส่วนเป็นจำนวนตรรกยะ
$1/(4 + 32^{1/3} + 36^{1/3})$
ช่วยคิดให้หน่อยครับ ผมลองคิดแล้วมันไม่หลุดจริงๆ |
ไม่ได้ยากถึงขนาดคิดไม่ได้ แต่ถ้าคิดโดยใช้มือคงเบื่อกันไปก่อนที่จะได้คำตอบครับ
ขนาดผมคิดโดยใช้น้องเปิ้ลยังเบื่อเลย :D ให้ $x=32^{1/3}+36^{1/3}$ จะได้ $x-32^{1/3}-36^{1/3}=0$ ดังนั้น $x^3-32-36=3x(-32^{1/3})(-36^{1/3})$ $x^3-68=12\sqrt[3]{18}x$ $x^9-204x^6-17232x^3-314432=0$ ต่อไปจับ $x^9-204x^6-17232x^3-314432$ มาหาร $x+4$ จะได้ $x^9-204x^6-17232x^3-314432=(x+4)(x^8-4x^7+16x^6-268x^5+1072x^4-4288x^3-80x^2+320x-1280)-309312$ แต่ข้างซ้ายเป็นศูนย์ จึงได้ $\dfrac{1}{x+4}=\dfrac{x^8-4x^7+16x^6-268x^5+1072x^4-4288x^3-80x^2+320x-1280}{309312}$ |
ขอโทษด้วยนะครับ ถ้าความสงสัยของผมมันอาจจะฟังดูงงๆ
ประเด็นแรก ผมอยากจะทราบว่า $\frac{1}{4+\sqrt[3]{32} +\sqrt[3]{36} }$ เป็นจำนวนตรรกยะหรือเปล่าครับ ประเด็นที่สอง ถ้าไม่ใช่จำนวนตรรกยะ แล้วโจทย์ข้อนี้จะยังมีความหมายอยู่หรือเปล่าครับ เพราะถ้าผมให้ $y=\frac{1}{4+\sqrt[3]{32} +\sqrt[3]{36} }$ ผมก็จะได้ว่า $\frac{1}{4+\sqrt[3]{32} +\sqrt[3]{36} }=\frac{y}{1}$ ซึ่งก็ไม่ต่างจากคำตอบที่พี่ nooonuii ให้ เพราะยังไงตัวเศษก็ไม่มีทางเป็นจำนวนตรรกยะอยู่แล้วไม่ใช่หรอครับ ประเด็นที่สาม ถ้าเป็นจำนวนตรรกยะ แล้วใช้วิธีของพี่ nooonuii เราจะต้องแสดงว่า ตัวเศษเป็นจำนวนเต็มด้วยหรือเปล่าครับ ผมเข้าใจผิดตรงไหนช่วยบอกด้วยนะครับ:please: |
#3
เป็นอตรรกยะ ต่างกันตรงที่ เราสามารถเขียน $x$ จาก #2 ในรูปที่ไม่มีเศษส่วนได้ (ส่วน $y$ ยังคงอยู่ในรูปเศษส่วน) |
เข้าใจแล้วครับ
ขอบคุณมากครับ ข้อนี้นักเรียนเอามาถาม แต่ผมทำไม่ได้จริงๆ ครับ |
#4 ขอบคุณมากครับ ตอนนี้ผมพอจะเข้าใจแล้วครับว่าความหมายของโจทย์คือ ให้จัดรูปใหม่ ให้อยู่ในรูปเศษส่วน โดยที่ตัวส่วนเป็นจำนวนเต็ม และตัวเศษอยู่ในรูปพหุนามของ $\sqrt[3]{32}$ กับ $\sqrt[3]{36}$
มีวิธีง่ายๆที่จะแสดงว่า $\sqrt[3]{32}+\sqrt[3]{36}$ เป็นอตรรกยะไหมครับ |
อ้างอิง:
สมมติว่า $x=32^{1/3}+36^{1/3}$ เป็นจำนวนตรรกยะ จะได้ว่า $x$ เป็นรากของสมการ $x^3-68=12\sqrt[3]{18}x$ จึงได้ว่า $\sqrt[3]{18}=\dfrac{x^3-68}{12x}$ เป็นจำนวนตรรกยะด้วย ซึ่งขัดแย้ง |
ขอบคุณมากครับพี่ nooonuii
|
อืมงี้เองหรอครับ
|
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 16:31 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha