ฝึกอินทิเกรตกัน
 

ปิดเทอมนี้หลายๆท่านน่าจะว่างๆกันอยู่ (เหมือนผม :sweat:) ก็เลยหาโจทย์อินทิเกรตมาให้ทำกัน อัพเดทโจทย์เรื่อยๆครับ ทีละ 10 ข้อ(จะมีคนเล่นด้วยมั้ยน้อ :()

เงื่อนไข : ตัวแปรนอกเหนือจาก x จะถือว่าเป็นค่าคงตัวหมดครับ

ข้อ9)ก่อนะละกันอิอิ
$$\int x-\frac{1}{x^2} dx=\frac{x^2}{2}-\frac{1}{x}+C$$
ข้อ2)ด้วยละกันไม่รู้ถูกไหมนะครับ
$$\int (ab)^x dx = \frac{(ab)^x}{\ln ab}+C$$
ข้อ8)ด้วยนะครับ
$$\int \frac{\sin 2x}{\cos x} dx=-2\cos x + C$$

แป๊กอะไรรึปล่าวครับ :laugh:

ข้อ7)
$$\int \frac{1}{\sqrt{x+1}}+1 dx=2\sqrt{x+1}+x+C$$

ผมขอข้อ 4)

$\int_\,\frac{3}{x^2+4x+5}dx$

$\int_\,\frac{3}{(x^2+4x+4)+(1)}dx$ = $\int_\,\frac{3}{(x+2)^2+1^2}dx$

ได้ $3tan^{-1}(x+2)+C$

1.\[
\int {\sqrt {10^{3x} } dx = \int {\left( {10^{\frac{3}{2}} } \right)} } ^x dx = \frac{{2\sqrt {10^{3x} } }}{{3\ln 10}} + c
\]
2.\[
\int {a^x b^x dx = \int {\left( {ab} \right)} } ^x dx = \frac{{a^x b^x }}{{\ln \left( {ab} \right)}} + c
\]
3.\[
\int {\frac{{x + 2}}{{x^2 + 1}}dx = } \int {\frac{x}{{x^2 + 1}}dx + \int {\frac{2}{{x^2 + 1}}dx = } } \frac{1}{2}\int {\frac{{d\left( {x^2 + 1} \right)}}{{x^2 + 1}} + \int {\frac{2}{{x^2 + 1}}dx = } \frac{1}{2}\ln } \left( {x^2 + 1} \right) + 2\arctan x + c
\]
4.\[
\int {\frac{{3dx}}{{x^2 + 4x + 5}} = 3\int {\frac{{dx}}{{\left( {x + 2} \right)^2 + 1}} = } } 3\int {\frac{{d\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)^2 + 1}} = } 3\arctan \left( {x + 2} \right) + c
\]
5.\[
\int {\frac{{\left( {1 + \tan ^2 x} \right)}}{{1 + \tan x}}} dx = \int {\frac{{\sec ^2 x}}{{1 + \tan x}}} dx\int {\frac{{d\left( {1 + \tan x} \right)}}{{1 + \tan x}} = \ln \left| {1 + \tan x} \right| + c}
\]
6.\[
\int {\frac{{\tan x}}{{1 - \tan ^2 x}}dx = \int {\frac{{\sin x\cos x}}{{\cos ^2 x - \sin ^2 x}}dx = } } \frac{1}{2}\int {\frac{{\sin 2x}}{{\cos 2x}}} dx = \frac{1}{4}\int {\tan 2xd\left( {2x} \right) = \frac{1}{4}\ln \left| {\sec 2x} \right| + c}
\]
7.\[
\int {\frac{{1 + \sqrt {x + 1} }}{{\sqrt {x + 1} }}} dx = \int {\left( {\frac{1}{{\sqrt {x + 1} }} + 1} \right)dx = 2\sqrt {x + 1} + x + c}
\]
8.\[
\int {\frac{{\sin 2x}}{{\cos x}}dx = 2\int {\sin xdx = - 2\cos x + c} }
\]
9.\[
\int {\frac{{x^4 - x}}{{x^3 }}dx = \int {\left( {x - \frac{1}{{x^2 }}} \right)} } dx = \frac{{x^2 }}{2} + \frac{1}{x} + c
\]
10.\[
\int {\frac{{e^x }}{{\sqrt {1 + e^{2x} } }}dx = } \int {\frac{{d\left( {e^x } \right)}}{{\sqrt {1 + e^{2x} } }} = } \ln \left( {\sqrt {1 + e^{2x} } + e^x } \right) + c
\]

จาก #2,#3 ประทานโทษคุณเนสครับ ผมแป๊กเอง :blood:
คุณ V.Rattanapon ครับ ถูกหมดเลยครับ :please:
ไม่ทราบว่า ข้อ 10 ผมทำแบบนี้ได้หรือไม่ครับ
$$\int \frac{e^x}{\sqrt{1+e^{2x}}} dx$$
$$= \int \frac{1}{\sqrt{1+e^{2x}}} de^x$$
$$= \frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{1+e^{2x}}} d(1+e^{2x})$$
$$= \sqrt{1+e^{2x}}+c$$
ปล. อัพถึงข้อ 20 แล้วนะครับ

ข้อ 12) $\int\frac{(\sqrt{x}-1)^2 }{\sqrt{x}}dx $
ได้เป็น $\int x^{\frac{1}{2}}-2+x^{-\frac{1}{2}}$
ตอบ $2\frac{\sqrt{x^3}}{3}-2x+2\sqrt{x}+C$

ข้อ 10) ใช้การแทนค่าตัวแปรคับ ให้ $U=1+e^{2x}$
ก็ออกแล้วคับ:)

ข้อ 11)
$\int \frac{x^3+1}{x+1}dx$
ได้ $\int\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x+1)}dx $
$\int(x^2-x+1)dx$
ตอบ $\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+x+C$

ข้อ 13)
$\int secx(tanx+cosx)dx$
ได้ $\int(secxtanx+1)dx$
ตอบ $secx+x+C$

ข้อ 15)
$\int(e^{2x}+1)e^{-x}dx$
ได้$\int (e^x+e^{-x})dx$
ตอบ $e^x-e^{-x}+C$

ข้อ 16)
$\int\frac{tan(ax)+tan(bx)}{1-tan(ax)tan(bx)}$
ได้ $\int tan(ax+bx)$
ตอบ $\frac{1}{a+b}ln|sec((a+b)x)|+C$

ข้อ 19)
$\int(\sqrt{x}-csc^2x)dx$
ตอบ $\frac{2}{3}\sqrt{x^3}+cotx+C$


ข้อ 20)

$\int \frac{sec^2{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx$
ให้ $u=\sqrt{x}$
$dx=2\sqrt{x}du$
$\int 2sec^2udu$
ตอบ$2tan\sqrt{x}+C $

ไว้ที่เหลือจะมาทำต่อนะคับ

คุณ JamesCoe#18 ตลกข้อ 15 ครับ :laugh:

หุุหุ เบลอๆนิิดหน่อยคับคุณ [SIL]
ตอนนั้นก็เกือบตี3ละคับแก้ให้แล้วนะัคับ

ผิดครับเพราะ
\[
\int {\frac{{e^x }}{{\sqrt {1 + e^{2x} } }}dx \ne } \int {\frac{1}{{\sqrt {1 + e^{2x} } }}d\left( {1 + e^{2x} } \right) = 2} \int {\frac{{e^{2x} }}{{\sqrt {1 + e^{2x} } }}dx}
\]
ผมว่ามันจะไม่ออกนี่ซิครับ ;)

ก็กำหนดให้ A=$e^x$

จะได้ $\int\frac{A}{\sqrt{1+A^2}}dA$

ให้ $U = 1+A^2$

จะได้ $dA=\frac{dU}{2A}$

$\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sqrt{U}}dU$

ตอบ $\sqrt{1+e^{2x}}+C$:)

ตรงบรรทัดที่ 2 แทนค่าผิดหรือป่าวครับ