ข้อสอบเรขา+พีชสอวนช่วยคิดด้วยนะครับ
 

รบกวนด้วยนะครับ
หนังสือเฉลยข้อสอบสอวนปี 2543-2551 ซื้อที่ไหนกันครับศูนย์หนังสือจุฬามีรึเปล่าวครับ:confused:
มีของปี 2546 2547 และ 2551 นะครับ
ถ้าเป้นไปได้ขอ solution เลยได้ไหมครับ:please:
:please:
1.วงกลมที่มี o เป็นจุดศูนย์กลางแนบในสามเหลี่ยม ABC ลากเส้นตรง DOE ขนานกับด้าน BC พบ AB และ AC
ที่จุด D,E ตามลำดับถ้า AB=12,AC=18,BC=15
พื้นที่สามเหลี่ยม ADE=? ตารางหน่วย

ย้ายไปห้องประถมต้นด้วยครับ
นี่คือคำสั่ง

มีครับ ซีเอ็ดก็มี:p

$\frac{AO}{OD} = \frac{AF}{FB} + \frac{AE}{EC}$

$\frac{11}{OD} = \frac{2}{3} + \frac{1}{4}$

$\frac{11}{OD} = \frac{11}{12}$


$OD = 12$

$AD = 11+ 12 = 23$

$15\sqrt{7} `?? `$

ค่าน้อยสุดของสมาชิกในY คือ 5 ครับ

Hint $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b) = 7 $.....(1)
และหาค่าabที่ติดค่าa+b จากสมการ
$a^2 + b^2 + a + b + ab = 4$

นั่นคือ จะได้ ค่า $ ab = (a+b)^2 + (a+b) -4 $ นำค่านี้ไปแทนในสมการที่(1)


จะได้ค่า a+b 2ค่า คือ $\frac{-7}{2} ,1 $


Ps. ขอโทษทีนะครับ ถ้าผมอธิบายไม่รู้เรื่อง เพราะตอนนี้ เป็นไข้อยู่ด้วยครับ:sweat:

ทำไม$\frac{AO}{OD} = \frac{AF}{FB} + \frac{AE}{EC}$ครับ:confused:

ผมคิดได้ไม่ตรงิ่ครับรบกวนช่วยแสดงวิธีทำได้ไหมครับ:please:

ก่อนอื่น ขอทำความเข้าใจก่อนว่า เศษส่วนที่เท่ากัน ถ้าเอาเศษบวก(หรือลบ)เศษ ส่วนบวก(หรือลบ)ส่วน อัตราส่วนยังเท่าเดิม เช่น

$\frac{1}{2} = \frac{4}{8} = \frac{20}{40} = \frac{4+20}{8+40} = \frac{20-4}{40 - 8} = \frac{50 +1}{100+2} = \frac{50 -1}{100-2} $

ทีนี้ก็มาถึงเวลาพิสูจน์ว่า $\frac{AO}{OD} = \frac{AF}{FB} + \frac{AE}{EC}$

จากรูป อักษรสีแดงคือพื้นที่สามเหลี่ยมเล็กๆแต่ละอัน
เราจะใช้ความสัมพันธ์ อัตราส่วนด้าน กับอัตราส่วนพื้นที่เป็นหลักในการพิสูจน์

สามเหลี่ยม $ ABD \ \ \ \ \ \ \ \frac{AO}{OD} = \dfrac{a+b}{d} $

สามเหลี่ยม $ ACD \ \ \ \ \ \ \ \frac{AO}{OD} = \dfrac{c+e}{f} $

ดังนั้น $\frac{AO}{OD} = \dfrac{(a+b) + (c+e)}{(d+f)}$ ...................(1)


สามเหลี่ยม $AOB \ \ \ \ \ \ \ \frac{AF}{BF} = \dfrac{a}{b} $ ...................(2)

สามเหลี่ยม $ABC \ \ \ \ \ \ \ \frac{AF}{BF} = \dfrac{a+c+e}{b+d+f} $ ...................(3)

จาก (3) และ (2) $\ \ \ \ \ \ \ \frac{AF}{BF} = \dfrac{(a+c+e)-a}{(b+d+f)- b} = \dfrac{c+e}{d+f}$ ...................(4)



สามเหลี่ยม $AOC \ \ \ \ \ \ \ \frac{AE}{CE} = \dfrac{c}{e} = \dfrac{b+a+c}{d+f+e} $

จะได้ $ \ \ \ \ \ \ \ \frac{AE}{CE} = \dfrac{(b+a+c)-c}{(d+f+e)-e} = \dfrac{b+a}{d+f}$ .....................(5)


(4) + (5) $ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{AF}{BF} + \frac{AE}{CE} = \dfrac{c+e}{d+f} +\dfrac{b+a}{d+f} = \dfrac{(c+e) + (b+a)}{(d+f)}$



จาก (1) จะได้ $\frac{AO}{OD} = \frac{AF}{BF} + \frac{AE}{CE} $


จากการพิสูจน์ข้างต้น จึงสรุปเป็นสูตรได้ว่า
สามเหลี่ยมใดๆ ABC มี AF : FB = m :n และ AE : EC = p : q แล้ว

$\frac{AO}{OD} = \frac{m}{n} + \frac{p}{q} $

สูตรนี้นำไปใช้ได้เลยครับ :D

สามเหลี่ยม ABC กำหนดด้านทั้ง 3 มาให้ วานท่าน heron ช่วย

จะได้พื้นที่สามเหลี่ยม ABC = $ \frac{135}{4}\sqrt{7} $

จากพื้นที่สามเหลี่ยม ABC ที่ได้ ก็หารัศมีวงกลมได้ = $\frac{3}{2}\sqrt{7} \ \ \ \ \ $ (หาจากพื้นที่สามเหลี่ยมเล็ก AOB+ AOC + BOC)

เมื่อได้พื้นที่ ก็หาส่วนสูง สามเหลี่ยม ABC ที่มี BC เป็นฐาน ได้ =$ \frac{9}{2} \sqrt{7} $

ส่วนสูงของสามเหลี่ยม ADE = สูงสามเหลี่ยม ABC ลบด้วยรัศมี


ต่อไปก็ใช้สามเหลี่ยมคล้าย


$\frac{ฐานสามเหลี่ยม ADE}{ฐานสามเหลี่ยม ABC } = \frac{สูง ADE}{สูง ABC }$


จะได้ฐานสามเหลี่ยม ADE =$ \frac{2}{3} \times BC$


สูตรพื้นที่สามเหลี่ยมทั่วไป

จะได้ สามเหลี่ยม ADE =$ 15\sqrt{7} $

ตรงนั้นแหละครับงง
คือผมทำแบบนี้ครับ
หลังจากลากเส้น DOE แล้วจะได้สี่เหลี่ยมคางหมูหนึ่งรุปซึ่งสูงมันจะเท่ากับ รัศมีของวงกลมอ่ะครับ
หลังจากนั้นใช้
พ.ท ABC=พ.ท. ADE+พ.ท.คางหมู
ซึ่งอัตราส่วนด้านแต่ละด้านของ ADE ผมแก้ให้อยู่ในรูปตัวแปร x ตัวเดียวโดยสามเหลี่ยมคล้ายน่ะครับ
จะได้อักตราส่วนด้านทั้งสามในรูปตัวแปร x มา
หลังจากนั้นแก้สมการหาค่า x แล้วใช้ HERO อีกรอบอ่ะครับ

ลากเส้นตั้งฉากจาก A ตั้งฉาก BC ที่จุด X จะได้ AX เป็นส่วนสูงของ ABC
ให้ AX ตัด DE ที่จุด Y จะได้ AY เป้นส่วนสูงของ ADE
แต่ AY = AX - XY (XY ก็คือส่วนส่วนสูงของสี่เหลี่ยมคางหมู ซึ่งก็คือรัศมีของวงกลม)