Nice from Japan
 

Let $N$ be positive integer. Some integers are written in a black board and those satisfy the following conditions.
1. Any numbers written are integers which are from $1$ to $N$.
2. More than one integers which is from $1$ to $N$ is written.
3. The sum of numbers written is even.
If we mark $X$ to some numbers written and mark $Y$ to all remaining numbers, then prove that we can set the sum of numbers marked $X$ are equal to that of numbers marked $Y$. :)

ไม่เข้าใจโจทย์เลยครับ ?

ให้ $N$ แทนจำนวนเต็มบวกจำนวนหนึ่ง เผอิญมีเลขมาเขียนไว้บนกระดานดำ มีลักษณะคือต่อไปนี้
1. จำนวนทุกจำนวนบนกระดาน อยู่ระหว่างตั้งแต่ 1 ถึง $N$
2. มีจำนวนที่ถูกเขียนมากกว่า 1 ตัว
3. ผลบวกของจำนวนทั้งหมดบนกระดานเป็นจำนวนคู่

ถ้าเราเติม $X$ หลังเลขบางตัว ส่วนตัวที่เหลือเติม $Y$ แล้ว
จงพิสูจน์ว่า เราสามารถเลือกเติม $X$ ลงไปแล้วทำให้ ผลรวมของเลขที่เติม $X$ เท่ากับ ผลรวมของเลขที่เติมด้วย $Y$ ได้ ถ้าชุดเลขนั้นเป็นไปตามเงื่อนไข 3 ข้อที่ให้ไว้

ถ้าที่ผมแปลไม่ผิดแล้วมันจะพิสูจน์ได้จริงอย่างนี้เหรอ งง งง

ขอโทษครับ เขาแก้โจทย์แล้วในเว็บ mathlinks แต่ผมลืมมาแก้ TT

Let $N$ be postive integer. Some integers are written in a blackboard. Suppose that :

1. The written number is all belong to $1,\ 2,\ \cdots N.$

2. Each of integer of $1,\ 2,\ \cdots N$ is written at least one.

3. The sum of numbers written in the black board is even.

If we mark $X$ to some numbers written and mark $Y$ to all remaining numbers, then prove that we can set the sum of numbers marked $X$ are equal to that of numbers marked $Y$. :)

โจทย์ดูเหมือนง่ายนะครับเนี่ย
ผมลองทำดู ก็พอจะทำได้แต่ต้องแบ่งค่อนข้างหลายกรณีเหมือนกัน
mathlinks เค้าเฉลยง่ายมั้ยครับเนี่ย ของลิงค์ด้วยนะครับ

แปลไม่ได้ครับ อ่อนeng