เรื่องกรณฑ์ครับ แนะนำหน่อยครับ
 

$\sqrt\frac{\sqrt\frac{\sqrt\frac{\sqrt\frac{\sqrt\frac{\sqrt2}{3}}{4}}{6}}{8}}{9}$ $=$ $\frac{2^m}{3^n}$ จงหา $mn$

นึกสภาพเหมือนเวลาเราจับเท่ากับ x เราก็จะยกกำลังกับคูณไขว้ขึ้นไปเรื่อยๆ แต่อันนี้คิดย้อน

$\displaystyle\sqrt\frac{\sqrt\frac{\sqrt\frac{\sqrt\frac{\sqrt\frac{\sqrt2}{3}}{4}}{6}}{8}}{9} = 2^{-\frac{1}{64}}\times 3^{-\frac{1}{32}}\times 4^{-\frac{1}{16}}\times 6^{-\frac{1}{8}}\times 8^{-\frac{1}{4}}\times 9^{-\frac{1}{2}}=2^{-\frac{63}{64}}\times 3^{-\frac{37}{32}}$

$m=-\frac{63}{64},n=\frac{37}{32}$

$\therefore mn=-\frac{2331}{2048}$

แล้วถ้าเราคิดจากบนลงมาล่างมันจะผิดไหมครับ คือหลักการเป็นอย่างไรผมไม่ทราบเลยครับ

ทำได้ครับ แต่ทำแบบนั้นจะช้าและวุ่นวาย เช่น $\sqrt{x \sqrt{ x \sqrt{x}}}$

ถ้าทำแบบเร็ว จะเห็นว่า $x$ ตัวในสุด(ขวามือ) จะอยู่ภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์ 3 ครั้ง

ดังนั้น $x$ ตัวในสุดจะถอดออกมาได้เป็น $(((x)^\frac{1}{2})^\frac{1}{2})^\frac{1}{2} = x^{\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}} = x^\frac{1}{8}$

$x$ ตัวกลาง จะอยู่ภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์ 2 ครั้ง ถอดออกมาได้เป็น $x^{\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}}= x^\frac{1}{4} $

$x$ ตัวซ้ายมือสุด จะอยู่ภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์ 1 ครั้ง ถอดออกมาได้เป็น $x^{\frac{1}{2}}$

ดังนั้น $\sqrt{x \sqrt{ x \sqrt{x}}} = x^{\frac{1}{8}} \times x^{\frac{1}{4}} \times x^{\frac{1}{2}}$

อย่างข้อนี้ $\sqrt\frac{\sqrt\frac{\sqrt\frac{\sqrt\frac{\sqrt\frac{\sqrt2}{3}}{4}}{6}}{8}}{9}$ $=$ $\frac{2^m}{3^n}$

จะเห็นว่า 2 จะอยู่ภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์ 6 ครั้ง ถอดออกมาได้เป็น $2^{\frac{1}{64}}$

$\frac{1}{3}$ จะอยู่ภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์ 5 ครั้ง ถอดออกมาได้เป็น $(\frac{1}{3})^{\frac{1}{32}}$

$\frac{1}{4}$ จะอยู่ภายใต้เครื่องหมายกรณฑ์ 4 ครั้ง ถอดออกมาได้เป็น $(\frac{1}{4})^{\frac{1}{16}}$

ครับเข้าใจขึ้นมากเลยครับ ขอบคุณนะครับ