ช่วยหาคำตอบของอสมการหน่อยครับ
 

จงหาคู่อันดับ $(k,n)\in\mathbb{N^2}$ ที่สอดคล้องกับ $$3^n<2^k<\Big(3+\frac{1}{n^2}\Big)^n$$

รบกวนบอกหน่อยได้มั้ยครับ ว่าไปเห็นโจทย์มาจากไหน :please:

ใช่โจทย์เต็มๆหรือเปล่า บางทีมันไม่แน่ว่าจะมี elementary proof อะครับ

มันเป็น open problem เทือกๆนี้หรือเปล่า ? :laugh:

ไม่ได้ไปเห็นจากไหนหรอกครับ พอดีว่าผมนั่งคิดโปรเจคเล่นๆอยู่เเล้วก็ลองมาเป็นตัวนี้ครับ (จริงๆติดอีกเยอะมากเลยครับ) ซึ่งผมเดาไปเองว่ามันไม่น่าจะมีคำตอบนะครับๆ เเต่จริงๆผมเดาอันที่ตามมาด้วย ว่าทุกๆ $\epsilon>0$มีจำนวนนับ $n$ อยู่จำกัดที่ทำให้ มีจำนวนนับ $k$ ที่สอดคล้องกับ $\displaystyle 3^n<2^k<\Big(3+\dfrac{1}{n^{1+\epsilon}}\Big)^n$ ( ผมเดาไปเเบบนั้นเพราะว่า $\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{2^k}{3^n}=1$ น่ะครับซึ่งโดยนิยามมันเหมือนจะได้เเต่ก็ยังน่ัครับ 555 )


ปล.มันพอจะเป็น conjecture หรือเปล่าครับๆ

รู้สึกว่ามันเป็นโจทย์ที่มีความ random เข้ามาเกี่ยวข้องเยอะมากครับ
คือถึงจริงก็พิสูจน์ไม่ได้

จากที่ดูๆมา ตอนนี้คิดว่าประเด็นแรกคือต้องเชคความถูกต้องก่อนครับ

คือต้องบอกให้ได้ก่อนว่า จริง หรือ เท็จ กับการที่จะเจอ power of two ใน arbitrary interval

ซึ่งผมคิดว่าอาจต้องใช้คอมช่วยตรวจก่อนขั้นต้น ว่าจริงเท็จยังไง (มี $n$ อยู่จำกัดที่ทำให้มี $k$)

ข้อความแบบนี้มันต้องคอมช่วยตรวจก่อนอะครับ ถึงจะเอาเครื่องมือทางคณิตเข้าไป deduct มันออกมา

ทีนี้ถ้าเรามั่นใจว่ามัน "จริง" การโดดไปหาเครื่องมือมา deduct เลยมันอาจจะทำได้ลำบาก

เพราะแม้แต่คอมเอง เวลาเอามันมาตรวจผลลัพธ์มันก็ deduct เอาจาก math language อยู่ดี

วิธีที่ตรงไปตรงมาคือ แทน $n$ ไปเรื่อยๆเอาให้เยอะพอจนกว่าจะมั่นใจว่ามีจำกัดค่าจริงๆ เล็กใหญ่ต่างๆกันไป

ส่วนแนวโน้มว่า ถ้ามันจริงปุ๊บ จะเอาจริงเอาจังกับบทพิสูจน์ให้ได้จริงๆ อาจต้องพึ่งเครื่องมือโหดๆครับ

พวก analytic number, probability theory พวกของหนักๆที่ researcher ชอบใช้แก้โจทย์ NT ทั้งหลาย
ผมค่อนข้างมั่นใจว่าข้อนี้ไม่มี elementary proof แน่นอน อีกอย่าง edge ของ real analysis ไม่น่าเอาอยู่

บางทีการบอกว่าจริงหรือเท็จ อาจจะทำได้ยากไม่น้อยไปกว่าการพยายามแก้โจทย์โดย deduct เอาจากเครื่องมือจำกัดๆ

หรือแม้แต่ตัวโจทย์เองที่อาจจะเป็น undecidable ไป คือไม่สามารถจะบอกได้ว่าจริงหรือเท็จตั้งแต่แรก

ทั้งหมดนี้เป็นการสแกนขั้นต้น ซึ่งมันขั้นกับทักษะเฉพาะส่วนบุคคลอะครับ

คิดว่าโจทย์ combi number ทั้งหลายที่เราทำๆกันมา เสกกันออกมาจากไหน
วัดความถูกต้องยังไง คอมส่วนใหญ่ครับ อย่างน้อยก็มีเครื่องมือช่วย deduct ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง

ทุกวันนี้มีคนสนใจใช้คอมมาลดความซับซ้อนมากขึ้น อันนี้ผมแปะไว้ให้ลองดูๆระยะยาวนะครับ
search key นี้ homotopy type theory

ปล. อย่าไปชั่งน้ำหนักความเห็นผมมากนะครับ ผมไม่ใช่นักวิจัยอะไร ผม nobody :laugh:

$k=8,n=5$ :):):):)

มันจะมี elementary solution จริงๆเหรอ ?

พิสูจน์ให้ดูหน่อยสิครับ (เอาแบบไม่เกิน undergraduate ก็ได้ครับ ) :great:

พึ่งมาเห็นครับ ตอนผมนั่งไล่ดูทำไมข้ามตัวนี้ไปได้นะ 555 ถ้า $n$ มากกว่านี้ล่ะครับๆมันจะยังมีอีกมั้ย

ขอขุดอันนี้ขึ้นมาหน่อยนะครับ

คุณจูกัดเหลียงได้ผลลัพธ์อะไรใหม่ๆบ้างครับ

ผมอยากลองคิดข้อนี้หนักๆดูหน่อย

อยากรู้รายละเอียดคร่าวๆครับ :great:

พึ่งมาเห็น ขอโทษด้วยครับ ยังไม่มีอะไรเพิ่มเติทเพราะผมวางมานานเเล้วครับ