รบกวนถามวิธีคิดโจทย์ข้อนี้หน่อยค่ะ
สุ่มจุดสามจุดบนวงกลม จงหาความน่าจะเป็นที่ไม่ว่าจะเลือกสองจุดใดๆ จะมีระยะระหว่างจุดทั้งสองยาวน้อยกว่าระยะรัศมี
|
โจทย์น่าสนใจดีนะครับ
|
กำหนดให้ S = {จุด|$ x^2 + y^2$ = r}
จากกฏการเลือกจัดหมู่ $$C = \binom{S}{3}$$ คือจำนวนจุดบนวงกลม 3 จุดใดๆ จากโจทย์ได้ว่า คำตอบของงานแรกคือ $C$ สำหรับการสุ่ม 3 จุดใดๆ ขั้นต่อไป จากข้อกำหนดที่ว่าเมื่อเลือก 2 จุดจากสามเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากับ r D = {จุด|$ \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2} =\geqslant$ r} เมื่อ S=100000 คำตอบคือ Solution = {จุด| $H(C)-H(D)$} P(Solution) = (P(C)-P(D)) $\approx P(C)-P(A)P(B)(1-\lambda ))/2$ ;$\lambda \approx rcos\theta , P(A)=1/2^S$,$P(B)=1/2^(S\cdot \lambda -1)$ โปรแกรม Latex มี error เขียนต่อไม่ได้ครับ แต่ก็ประมาณนี้แหละ ที่แม่นยำกว่านี้ มีการอินทริเกรตด้วย ไม่ขอลองตอนนี้ ฮ่าๆๆๆๆๆๆๆ |
หา P(C) ก็ไม่ยากนะครับ H(D)/H(S) นั่นเอง เท่ากับ $S!/((S-3)!3!x2^(100000))= 100000!/((99997)!3!x2^(100000)) = 1.67x10^(-30089)$.
ค่า prop. ไม่เกิน 1 น่าจะถูกนะครับ พอรวมกันแทนในสมการของ P(Solution) แล้ว จะได้คำตอบโดยประมาณของผมคือประมาณ P(C) นั่นเอง Ans. |
อ้างอิง:
|
ทำไม s=100000 เหรอคะ
|
อ้างอิง:
นั่นคือ เราต้องเลือกจุดให้อยู่ใน sector ยาว $\frac{\pi}{3}$ ให้ $E$ เป็นเหตุการณ์ที่เลือกจุด $a,b,c$ แล้ว $a,b,c$ อยู่ใน sector ยาว $\frac{\pi}{3}$ ดังนั้นในแต่ละกรณีของ $E$ สามารถเรียงลำดับจุดจากทวนเข็มไปตามเข็ม เราจะระบายสีจุดแรกที่พบ ให้ $F$ เป็นเหตุการณ์ที่เลือกจุด $a,b,c$ แล้ว $a,b,c$ อยู่ใน sector ยาว $\frac{\pi}{3}$ และ $a$ ถูกระบายสี จะพบว่า $P(F)=\dfrac{P(E)}{3}$ แต่เราสามารถคำนวณหา $P(F)$ ได้ไม่ยาก จะได้ว่า $P(F)=(\dfrac{1}{6})^2$ fix จุด $A$ ไว้ จุด $B,C$ ต้องเกิดจากการหมุนจุด $A$ ทวนเข็มนาฬิกาไม่เกิน $\frac{\pi}{3}$ $\therefore P(E)=\dfrac{1}{12}$ ซึ่งก็ใกล้เคียงกับคำตอบ $10^{-19}$ พอๆกับใกล้เคียงกับ $0$ น่ะแหละครับ |
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
|
S = Serogate แปลไทยว่า "ร้อยเรียงเป็นพวง"
ในที่นี้คือ จำนวนจุดบนวงกลม ยิ่งมากยิ่งดี smooth มาก ไงครับ |
มีเฉลยไหมครับ โจทย์น่าสนใจดี:wub:
|
สมัยเรียนผมก็ตอบแบบนี้แหละ ติวมา คำตอบจริงๆ เท่ากับ $$10^(-19)$$ แต่ใช้วิธีผมนะ เดาว่าน่าจะใช้ S = 1,000
สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกา จะมี Column ถาม-ตอบ ปัญหาคณิตศาสตร์ ตีพิมพ์ในวารสาร จะมีเป็น Solution 1 Solution 2 Sulution 3 ... |
เฉลยตอบ 1/12 ค่ะ ขอบคุณสำหรับวิธีคิดมากเลยนะคะ
|
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 14:05 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha