convergent & divergent
 

(1) $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+...$
(2) $1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+...$
เป็น di หรือconหรอครับ

1. divergence เป็นอนุกรม p ซึ่ง p=1
หรือแสดงได้โดย
$1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+......>1+(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4})$+... =1+1+1+1+1+1=infinity
หมายเหตุ แสดงแบบคร่าวนะครับ
2. convergence เป็นอนุกรม p ซึ่ง p>1

การทดสอบการลู่เข้าของอนุกรม พี ทำได้โดยวิธีการ integral test นะครับ

$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+...=\zeta{(2)}=\frac{\pi^2}{6}$ ครับ

งงของคุณ Anonymous314 ครับ งงมากว่าทำยังไง ขอวิธีทำด้วยครับ :confused::please:

คุณ gnopy integral test ทำยังไงหรอครับ :please:

Define $f(z)=\frac1{z^2}\cot \pi z$, from residue theorem.



http://mathworld.wolfram.com/IntegralTest.html

เอ่อขอโทษนะครับที่แทรกขึ้นมาอยากรู้ว่า
$$\oint dx$$
คืออินทิเกรตแบบไหนครับ:confused:
ปล.วิธีโหดมากครับ:eek:

ขอเสนออีกวิธีที่เหมาะสำหรับคนที่ยังไม่รู้เรื่อง complex analysis นะครับ(รวมถึงผมด้วย...:haha:) เห็นว่ามัน elementary ดี
http://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem
ตรงส่วน A rigorous proof ครับ
ใช้ความรู้เรื่องเชิงซ้อนนิดหน่อย ตรีโกณนิดหน่อย แล้วก็ squeeze theorem ครับ

อ่านไม่ค่อยรู้เรื่องเลยครับ ความรู้ผมยังด้อยนัก :sweat:
ต้องรีบไปอ่านแล้ว :haha:

อ่อไม่ต้องตกใจครับ เนื้อหาพวกนี้อยู่ในระดับอุดมศึกษาครับ ปี 1,2 ก็ได้เรียนเอง

ส่วนintegral test นั้นไว้ว่างจะมาแสดงวิธี test ครับ

ยากเน้อ - -

การทดสอบโดยอินทรกัลเทสนะคับ
ข้อ1. $\int_{1}^{\infty}\frac{1}{n}dn$ ได้เป็น $ln|n|]_{1}^{\infty}$

ได้ค่าออกมาเป็นอินฟินิตี้ แสดงว่าเป็นอนุกรมลู่ออก

ข้อ2. $\int_{1}^{\infty}\frac{1}{n^2}dn$ ได้เป็น $\frac{-1}{n}]_{1}^{\infty}$

ได้ค่าออกมาเป็น 0 แสดงว่าเป็นอนุกรมลู่เข้า

:)

วิธีข้างบนนี้ ใช้ได้ทุกกรณีรึเปล่าครับ แล้วทำไมถึงอินทริเกรตได้ทั้งๆที่ไม่มี dn :sweat:
ถ้าเป็น $\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^n\frac{n}{n+1}$
ก็ทำแบบนี้ใช่ไหมครับ $\int_{1}^{\infty}(-1)^n\frac{n}{n+1} $
อินทริเกรตยังไงต่อหรอครับ มีพจน์ $(-1)^n$ มาเพิ่มแล้วอินทริเกรตไม่ได้เลย

ข้อที่ให้มานี้ยังใช้อินทริกัลเทสไม่ได้คับเพราะเป็น alternating series ต้องใช้วิธี เทส ของอนุกรมสลับคับต้องเช็คว่าเป็นอนุกรมสลับแบบลู่เข้าแบบสมบูรณ์ไหม
และก็ถ้าเป็นเป็นลู่เข้าแบบมีเงื่อนไขไหมจะมีกฏอยู่สามข้อ การอินทริกัลเทสอาจเลือกใช้ตอนเทสแบบลู่เข้ามีเงื่อนไข แต่ผมว่าน่าจะใช้วิธีอื่นก็ได้คับอาจจะใช้ ratio test ก็ได้คับ
ส่วนข้อที่ผ่านมาแก้ใส่ dn ให้แล้วคับ
:great:

ลองดูกระทู้นี้ครับ
http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=4566

เรียกว่า contour integral ครับ