ข้อนี้คิดไงอ่ะครับ
100! หาร 2$^n$ ลงตัว ถามว่า n ที่มากที่สุด คือเท่าไหร่?
|
$$\left\lfloor\,\frac{100}{2} \right\rfloor + \left\lfloor\,\frac{100}{4} \right\rfloor + \left\lfloor\,\frac{100}{8} \right\rfloor + \left\lfloor\,\frac{100}{16} \right\rfloor +\left\lfloor\,\frac{100}{32} \right\rfloor + \left\lfloor\,\frac{100}{64} \right\rfloor = 97$$
$$n=97$$ |
อ้อ ใจมากครับ
|
ผมยัง งง ครับทำไมผมคิดได้มันบวกไม่เห็นได้ 97 เลย มันได้ 98 กว่าครับ แล้วทำไมถึงคิดแบบนี้อ่าครับ ผมงงจัง
|
100! =100x99x98x97x96x95...x1ใช่ใหมครับดังนัน้เราก็ต้องหาว่ามี 2 เป็นตัวประกอบกี่ตัวในผลคูณนี้ โดยหาเลขที่หาร 2 ลงตัวคีอ 4 6 8 และ 10หาจำนวนที่หาร 4ได้ลงตัวตั้งเแต่ 4-100 มี25ตัว(รวมเลข 4เข้าไปด้วย)เพราะ4จะมี 2เป็นตัวประกอบ 2ตัวเสมอ แต่อย่าลีมว่า 8 ซึ่งหาร 4ลงตัวมี 2เป็นตัวประกอบ 3 ตัว
ดังนั้นเราจึงต้องหาเลขที่ต้องหาร 8 ลงตัวตังแต่ 8-96 มี 12ตัว(รวม8เข้าไปด้วย) มี 2 เป็นตัวประกอบของเลขที่หาร 8ลงตัว=12x3 =36 ตัว จำนวนที่เหลือสามารถหาร 4 ได้ลงตัวแต่ไม่สามารถหาร 8 ได้ลงตัว=24-12 =12ตัว มี 2 เป็นตัวประกอบของจำนวนที่สามารถ 4 ได้ลงตัวแต่ไม่สามารถหาร 8 ได้ลงตัว=12x2 =24 ตัว จากนั้นพิจารณาว่าจำนวนที่สามารถหาร 6 ได้ลงตัวหาร 4และ 8ได้มีกี่ตัวโดยการหา ครณ.ของ4และ6คีอ 12(ไม่ต้องหา ครณ.ของ6และ 8เพราะจำนวนที่หาร 8 ลงตัวก็หาร 4ลงตัวด้วย)จำนวนที่หาร12ลงตัวตั้งแต่ 12-96 มี 8 ตัว จำนวนที่หาร6ลงตัวตั้งแต่ 6-96 มี 16ตัว ดังนั้นมีเลขที่หาร 6 ลงตัวแต่หาร 4และ 8 ไม่ลงตัวมี =16-8 =8 ตัว มี เลข2เป็นตัวประกอบ 8 ตัว จากนั้นหาว่า จำนวนใดบ้างที่หาร 10ได้ลงตัวแต่หาร 4 6และ 8ไม่ลงตัวมีเพียง 50และ 70เท่านัน้ ดังนั้น ืที่มากที่สุด=36+12+8+2=58 |
อ้างอิง:
ส่วนคำอธิบาย solution ข้างบนอยู่ $\left\lfloor\,x\right\rfloor $ คือจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่า $x$ เช่น $\left\lfloor\,\frac{100}{8}\right\rfloor =12$ ผมใช้วิธีนี้ก็เหมือนกับการหาร 100 ด้วย $2^k$ โดยตัดเศษและ $2^k<100$ $\left\lfloor\,\frac{100}{2}\right\rfloor $ คือจำนวนของ"จำนวน"ที่หารด้วย 2 ลงตัว $\left\lfloor\,\frac{100}{4}\right\rfloor $ คือจำนวนของ"จำนวน"ที่หารด้วย 4 ลงตัว $\left\lfloor\,\frac{100}{8}\right\rfloor $ คือจำนวนของ"จำนวน"ที่หารด้วย 8 ลงตัว $\left\lfloor\,\frac{100}{16}\right\rfloor $ คือจำนวนของ"จำนวน"ที่หารด้วย 16 ลงตัว $\left\lfloor\,\frac{100}{32}\right\rfloor $ คือจำนวนของ"จำนวน"ที่หารด้วย 32 ลงตัว $\left\lfloor\,\frac{100}{64}\right\rfloor $ คือจำนวนของ"จำนวน"ที่หารด้วย 64 ลงตัว ซึ่งเมื่อนำมารวมกันก็จะได้จำนวน 2 ทั้งหมด 97 ตัว ยกตัวอย่าง 24 จะถูกนับทั้งหมด 3 ครั้งจาก $\left\lfloor\,\frac{100}{2}\right\rfloor ,\left\lfloor\,\frac{100}{4}\right\rfloor ,\left\lfloor\,\frac{100}{8}\right\rfloor $ รวม 3 ตัวแสดงว่า 24 มี $2^3$ เป็นตัวประกอบ พอเข้าใจบ้างมั๊ยครับ:sweat: |
มันมีวิธีเฉพาะในการหาอยู่คับ
ว่า n! = (m^k)(X) แล้วให้หา K ที่มากที่สุด(mเป็นจำนวนเฉพาะ) ไปเรียนมาจากสำนักไหนไม่รุอะคับ นานมาแล้ว - -* สมมุติ 100 !=(2^n)(X) x คือส่วนที่ไม่มี 2เป็นตัวประกอบ วิธีที่ร่ำเรียนมาก็คือ นำ 100 มาหาร 2 ผลลัพธ์ 50 นำ 50 มาหาร 2 ผลลัพธ์ 25 นำ25 มาหาร 2 ผลลัพธ์ 12 (เศษ1) นำ 12 มาหาร 2 ผลลัพธ์ 6 นำ 6 มาหาร 2 ผลลัพธ์ 3 นำ 3 มาหาร 2 ผลลัพธ์ 1 (เศษ 1) หารต่อไม่ได้แล้ว นำผลลัพธ์ทั้งหมดมาบวกกัน ได้k= 50+25+12+6+3+1= 97 ใช้ได้ไม่ว่า n จะเป็นเท่าไหร่(ไม่จำเป็นต้องเป็น 2) ตรวจคำตอบ(พิสูจน์) จำนวนตั้งแต่ 1-100 ที่หาร 2 ลง ก็คือ 2,4,6,8,...,96,98,100 (2^50)(1,2,3,4,5,6,...,44,45,46,47,48,49,50) (2^50)(1,3,5,7,...,49)(2,4,6,8,10,...,50) (2^50)(2^25)(1,3,5,,...45,47,49)(1,2,3,4,..,23,24,25) (2^50)(2^25)(1,3,5,,...45,47,49)(1,3,5,7,...,25)(2,4,6,8,...,24) (2^50)(2^25)(2^12)(1,3,5,...,45,47,49)(1,3,5,...,25)(1,2,3,4,...,12) (2^50)(2^25)(2^12)(1,3,5,....49)(1,3,5,...,25)(2,4,6,8,10,12)(1,3,5,7,9) (2^50)(2^25)(2^12)(2^6)(1,3,5,...,49)(1,3,5,...,25)(1,2,3,4,5,6)(1,3,5,7,9) (2^50)(2^25)(2^12)(2^6)(2^3)(1,3,5,..,49)(1,3,5,...,25)(1,2,3)(1,3,5)(1,3,5,7,9) (2^50)(2^25)(2^12)(2^6)(2^3)(2^1)(x) (2^97)(X)=100! ได้ k=97 เท่ากัน (ย้ำนะครับ ไม่ใช่ 2 ก็ใช้ได้(แต่ต้องเป็นจำนวนเฉพาะ)) เช่น 15! =(3^k)(x) ถ้านั่งไล่เอา ก็คือ 3*6*9*12*15 ก็ได้=3^6 ถ้าใช้วิธีข้างบน 15หาร 3 เหลือ 5 5 หาร 3 เหลือ 1 เศษ 2 หารต่อไม่ได้แล้ว 5+1=6 เท่ากัน **แต่ใช้ได้เฉพาะจำนวนที่เป็นจำนวนเฉพาะนะคับ ถ้าเป็น อย่างเช่น 10 ก็แปลงเป็น (2^k)(5^k) แล้วค่อยหาอีกที หรือ15ก็เท่ากับ (3^k)(5^k) |
ไม่เปงไรครับ พี่ kanakon :p
ผมพอเข้าใจแนวคิดแล้วครับ แล้วก็ขอบคุณวิธ๊คิด พี่ kanakon และ ของคุณ breeze123 ที่ช่วยให้ผมกระจ่างมากขึ้นครับ :yum: |
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
$= 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 + 0 + 0 + ........$ $= 97$:) |
มันหารไม่ลงด้วยซ้ำไม่ใช่เรอะ - -
|
อ้างอิง:
เก่งจังเลยครับ :please::please: |
แล้วทำไมถึงใช้สูตรได้
|
สูตรนี้คือสูตรอะไรเหรอครับ
อ้างอิง:
|
ผมเห็นด้วยกับคุณjumperครับเพราะเขาสุดยอดจริงๆ
|
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 04:49 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha