ทำแบบนี้ถูกมั้ยอ่าคับ
 

จงหาเศษจากการหาร \( 1^5 +2^5 +3^5 +...+99^5+100^5 \) ด้วย 4
ผมทำดังนี้คือ เนื่องจาก
\[ 1^5 +2^5 +3^5 +...+99^5+100^5 \equiv 50 \ (mod 4) \]
และเนื่องจาก \[ 50 \equiv 2 (mod 4) \]
ดังนั้น
\[ 1^5 +2^5 +3^5 +...+99^5+100^5 \equiv 2 \ (mod 4) \]
นั่นคือ เศษที่ได้จากการหาร คือ 2

เกือบถูกครับ (คำตอบคือเศษเป็นศูนย์ อ้างอิงจากความคิดเห็นของคุณ mystica ด้านล่างมาอีกที) จะลองคิดในกรณีทั่วไปก็ได้ครับ ซึ่งจะได้ว่า 4 หารกำลังห้าของจำนวนคู่ลงตัวเสมอ และได้เศษเป็น 1 หรือ -1 (หรือ 3 แล้วแต่ว่าจะเอาเศษเป็นบวกหรือลบ) เมื่อเป็นเลขคี่ (ซึ่งที่จริงก็แนวคิดเดียวกันแหละ)
------------------------------
ปมาโท มจฺจุโน ปทํ

ถ้า a เป็นเลขคี่แล้ว a บ ฑ1 (mod 4) ดังนั้น a⁵ บ (ฑ1)⁵ บ ฑ1 (mod 4)
แสดงว่าเมื่อ a เป็นเลขคี่ a⁵ mod 4 ไม่จำเป็นต้องเท่ากับ 1 ครับ

Ooups! ขอบคุณคุณ warut มากครับสำหรับข้อติติง (ลืมคิดกรณีที่ aบ-1 mod 4 ไม่น่าโพสต์ตอนเบลอ +_+) แก้ข้อความข้างบนแล้วนะครับ

อืมมมม ขอบคุงครับ คอนกรูเอนซ์ นี่คุณสมบัติมันเยอะจิงๆเลยนะครับ จำไม่หวาดไม่ไหว

อีกข้อครับ ผมสรุปแบบนี้กำปั้นทุบดินไปหน่อยมั้ยครับ
โจทย์ : จงพิสูจน์ว่า n เป็นจำนวนเต็มบวก แล้ว จงพิสูจน์ว่า ไม่มีค่า n ใดๆที่ทำให้ \( \sqrt{4n+2} \) เป็นจำนวนเต็ม
พิสูจน์
พิจารณา \( \sqrt{4n+2} =\sqrt{2(2n+1)} \)
จะเห็นว่า 2(2n+1) คือ 2 x เลขคี่ ดังนั้น ไม่สามารถหารากที่สองที่เป็นจำนวนเต็มได้ เพราะเลขคี่ไม่มี 2 เป็นตัวประกอบ ไม่สามารถทำให้ 2 มีตัวประกอบเป็นสองตัวได้

ถูกเหมือนกันครับ แต่จุดประสงค์ของโจทย์ข้อนี้น่าจะให้เราสรุปว่า กำลังสองของจำนวนเต็มใดๆจะหารด้วย 4 แล้วเหลือเศษ 0 หรือ 1 เท่านั้นครับ

โอเค...งั้นดูนี่หน่อยครับ

1⁵ + 2⁵ + 3⁵ + 4⁵ + . . . + 100⁵ = ( 1⁵ + 3⁵ + 5⁵ + . . . + 99⁵) + (2⁵ + 4⁵ + 6⁵ + . . . + 100⁵)

ในวงเล็บหลังเราไม่ต้องพิจารณาก็ได้เพราะ 4 หารลงตัวอยู่แล้ว เพราะฉะนั้นเราพิจารณาแค่วงเล็บหน้าก็พอ ตรงนี้แหละครับ ดูดีๆว่า

1⁵ บ 1(mod 4)
3⁵ = (2 + 1)⁵ = 2⁵ + . . . + C(5, 3)2² + 5x2 + 1 บ 3(mod 4)
5⁵ = (4 + 1)⁵ บ 1(mod 4)
7⁵ = (4 + 3)⁵ บ 3⁵(mod 4) บ 3(mod 4)
9⁵ = (2x4 + 1)⁵ บ 1(mod 4)
11⁵ = (2x4 + 3)⁵ บ 3⁵(mod 4) บ 3(mod 4)
.
.
.
97⁵ = (24x4 + 1)⁵ บ 1(mod 4)
99⁵ = (24x4 + 3)⁵ บ 3⁵(mod 4) บ 3(mod 4)

เพราะฉะนั้น จริงๆแล้ว 1⁵ + 3⁵ + 5⁵ + . . . + 99⁵ บ (1 + 3 + 1 + 3 + . . . + 1 + 3)(mod 4) บ 0(mod 4) ครับ

แหะๆๆ เหลือเชื่อว่าเราจะผิดงี่เง่าได้แบบนั้น เศษศูนย์ถูกแล้วครับ (ขอกลับไปตามลบไปแก้ข้อความเก่าๆก่อน)

อีกวิธีที่ไม่ดีนักคือ หากใครสังเกตและจดจำรูปแบบของ \( \displaystyle{\sum_{k=1}^n k^m}\ \) เมื่อ \( m\ \) เป็นจำนวนคี่ที่มากกว่า 2 ได้ (ดูได้จาก จำนวนเบอร์นูลี ) ก็จะพบว่ามี \( \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \) เป็นตัวประกอบเสมอ และตัวหารที่เหลือเป็นจำนวนคี่เสมอ (อันนี้เป็นข้อสังเกต จะเป็นจริงมั้ย ก็ไม่รู้) ดังนั้นกรณีที่ \( n = 100 \) จึงได้ว่า ผลรวมดังกล่าวหารด้วย 4 ลงตัวเสมอ