ปัญหาชิงรางวัลข้อที่ 14: Solitaire
 

การถอดไพ่ (solitaire) มีได้มากมายหลายแบบ แต่คำถามต่อไปนี้จะเป็นเรื่องเกี่ยวกับการถอดไพ่แบบง่ายที่สุดครับ เชื่อว่าแทบทุกคนคงรู้จักการถอดไพ่ตามวิธีต่อไปนี้

เริ่มด้วยการเปิดไพ่ไปทีละใบเรียงกันไป หากพบว่ามี 3 ใบไหนที่ผลรวมของแต้มมีค่าเป็นพหุคูณของ 10 เราจะสามารถดึง 3 ใบนั้นออกได้ (จะไม่ดึงออกก็ได้นะครับ แต่โดยส่วนใหญ่แล้วถ้าดึงออกจะดีกว่า) โดยที่ไพ่ 3 ใบนั้นจะมาจากปลายด้านไหนก็ได้ จะมาจากปลายด้านที่เราเริ่มต้น ซึ่งผมขอเรียกว่า "ปลายบน" หรือจะมาจากปลายด้านที่เราเพิ่งจะเปิดไพ่ใบล่าสุดไป ซึ่งผมขอเรียกว่า "ปลายล่าง" ก็ได้ เช่น 3 ใบนั้นอาจมาจาก ปลายล่างทั้ง 3 ใบ หรือมาปลายบน 2 ใบกับปลายล่างอีก 1 ใบ เป็นต้น ถ้าหลังจากที่เราดึงไพ่ 3 ใบออกไปแล้วปรากฎว่าไพ่ที่เหลืออยู่ยังมี 3 ใบที่สามารถดึงออกได้อีก (ตามกฎที่กล่าวมาแล้ว) เราก็ดึงต่อได้ครับ เสร็จแล้วก็เปิดไพ่ต่อ ทำไปเช่นนี้จนกว่าไพ่จะหมดมือทั้ง 52 ใบ ถ้าปรากฎว่าเหลือไพ่อยู่เพียงใบเดียวที่ไม่ถูกดึงออก จะถือว่า (โชคดี) ถอดไพ่ได้สำเร็จ นอกนั้นถือว่าถอดไม่ออกครับ

สำหรับการคิดแต้มของไพ่ ถ้าเป็นไพ่ 2 - 10 ก็นับแต้มตามค่าบนหน้าไพ่ แต่ถ้าเป็น J, Q, K ก็ให้เป็น 10 ครับ ส่วน A นี่พิเศษหน่อยคือจะคิดว่ามันมีค่าเป็น 1 หรือ 10 ก็ได้ครับ

คำถามคือ

1. (3 คะแนน) ในกรณีที่ถอดไพ่ได้สำเร็จ ไพ่ใบเดียวที่เหลืออยู่จะเป็นอะไรได้บ้าง
2. (5 คะแนน) ในกรณีที่โชคร้ายที่สุด คือดึงไพ่ออกได้น้อยชุดที่สุด (ชุดละ 3 ใบ) เราจะดึงได้กี่ชุด (อันนี้หมายถึงว่าเราดึงออกทุกครั้งที่มีโอกาสทำได้ ไม่มีการกั๊กนะครับ)

ให้ S แทน ผลบวกของ ไพ่ทุกใบเลยนะครับ
ให้ $\ M\ $ คือผลรวมของ A $\ \therefore M\ =\ (A_1\ +\ A_2\ +\ A_3\ +\ A_4)\ $

มาพิจารณาค่าของ $\ M\ =\ (A_1\ +\ A_2\ +\ A_3\ +\ A_4)\ $ นะครับ

• หนึ่ง ทุกตัว ได้ 4
• หนึ่ง 3 ตัว สิบ 1 ตัว ได้ 13
• หนึ่ง 2 ตัว สิบ 2 ตัว ได้ 22
• หนึ่ง 1 ตัว สิบ 3 ตัว ได้ 31
• สิบ ทุกตัว ได้ 40

$S\ =\ 4(2\ +\ 3\ +\ 4\ +\ 5\ +\ 6\ +\ 7\ +\ 8\ +\ 9\ +\ 10\ +\ J\ +\ Q\ +\ K)\ +\ M$
$\quad \ =\ 4(2\ +\ 3\ +\ 4\ +\ 5\ +\ 6\ +\ 7\ +\ 8\ +\ 9\ +\ 10\ +\ 10\ +\ 10\ +\ 10)\ +\ M$
$\quad \ =\ 4(\frac{(9)(10)}{2}\ -\ 1\ +\ 40)\ +\ M$
$\quad \ =\ 336\ +\ M$
$\quad \ =\ 340\ ,\ 349\ ,\ 358\ ,\ 367\ ,\ 376$

เนื่องจากดึงไปทีละ 10 ดังนั้น ไพ่ที่เหลือจึงมีโอกาสลงท้ายเป็น 0 , 9 , 8 , 7 , 6
นั่นคือ A(10) , J , Q , K , 10 , 9 , 8 , 7 , 6 :yum:

อีกข้อยังคิดไม่ได้คับ :sung:

ยังไม่ถูกครับ แต่เกือบแล้วล่ะ

อ๋อ ลบ A ไปใช่ไหมครับ
เพราะที่ ใช้ A(10) มันอย่ในกรณีที่ A เป็นหนึ่งหมดสี่ตัว ดังนั้น จึงไม่เกิดเหตุการณ์นี้ขึ้น

ขอสรุปคำตอบอีกทีนะครับ เป็น
J , Q , K , 10 , 9 , 8 , 7 , 6 :laugh:

ถูกแล้วครับคราวนี้ เหตุผลก็ถูกด้วย ในส่วนนี้น้อง R-Tummykung de Lamar รับไป 3 คะแนนครับ (เอ ผมยังไม่ได้จ่ายคะแนนข้อ 12 เลยนี่ ลืมไปเลย แล้วจะตามไปแจกทีหลังครับ)

Hint: ถ้าทำการทดลองกับสำรับไพ่จริงๆ น่าจะง่ายกว่าเขียนในกระดาษนะครับ

ป.ล. สัปดาห์นี้อาจไม่มีคำถามใหม่นะครับ แต่ถ้ามีก็คงต้องเป็นพรุ่งนี้ (วันเสาร์)

Hint #2: หากคิดได้ว่า อย่างน้อยที่สุดต้องดึงออกได้แน่ๆกี่ชุด ก็ลองพยายาม สร้างตัวอย่างที่มีสมบัติดังกล่าวนั้น ขึ้นมาดูครับ

สงสัยข้อนี้ผมต้องโดนเฉลยเองซะแล้ว :( :cry: ใครก็ได้ช่วยที :please:

ถ้าโชคร้ายที่สุดจะตัดได้ 1 ชุดครับ เราสามารถพิสูจน์ได้ไม่ยากว่าไม่ว่าไพ่แต่ละชุดจะเรียงกันอย่างไรเราก็สามารถตัดไพ่ได้อย่างน้อยหนึ่งชุดเสมอเนื่องจากเราสามารถหาไพ่ซึ ่งนำมารวมกับไพ่สองใบแรกแล้วได้ผลรวมของแต้มเป็นเลขที่ 10 หารลงตัวได้เสมอ ต่อไปจะแสดงว่ามีชุดไพ่ซึ่งสามารถถอดได้เพียงหนึ่งชุดเท่านั้นเป็นอันเสร็จพิธี :sung: ผมคิดว่ามีชุดไพ่แบบนี้อยู่หลายชุดทีเดียวครับอันนี้เป็นตัวอย่างจากการสุ่มของผมเอง (มีวิธีคิดนิดหน่อยแต่ใช้ไม่ได้ผลสุดท้ายเลยมั่วจนออก...ฮา :D )

K, 6, 9, K, 6, K, 6, K, 6, Q, 5, A, 7,

Q, 5, A, 7, Q, 5, A, 7, Q, 5, A, 7, J,

2, J, 3, J, 3, J, 3, 10, 3, 10, 2, 10, 2,

10, 2, 9, 8, 9, 8, 9, 8, 4(ตัดไพ่ตรงนี้ได้ 1 ชุดโดยเอา 4 ไปรวมกับสองตัวแรก),

4, 4, 8, 4

:sung:

จริงๆข้อนี้ผมตั้งใจให้เป็นข้อที่เปิดโอกาส ให้น้องๆสามารถที่จะต่อกรกับรุ่นพี่ๆได้ แต่ในที่สุดก็เสร็จคุณ nooonuii ต้องขอบคุณ คุณ nooonuii ครับที่ทำให้โจทย์ข้อนี้ของผมไม่สูญเปล่า ผมนับถือความสามารถ ในการแก้ปัญหาแบบรอบด้านของคุณ nooonuii จริงๆ :great:

โจทย์ข้อนี้เกิดจากที่ผมถามตัวเอง ตั้งแต่เล่นถอดไพ่แบบนี้เป็นได้ไม่นาน ตอนที่ได้คำตอบว่า "1 ชุด" นี่ก็ค่อนข้างประหลาดใจพอควร ตัวอย่างหาไม่ยากจนเกินไปครับ แต่ในการเล่นจริงๆยังไม่เคยเจอเลย ตัวอย่างของผม (ซึ่งไม่ได้แยกความแตกต่างระหว่าง K, Q, J, 10 นะครับ ทั้ง 4 แบบผมเขียนแทนด้วย 10 หมด) คือ

4, 10, 2, 3, 7, 5, 10, 9, 10, 5, 10, 7, 5,
9, A, 7, 5, 10, 9, 3, A, 3, 10, 4, 10, 2,
10, 7, 10, 2, A, 3, 10, 8, 10, 4, 10, 9, 10,
8, A, 4, 10, 8, 10, 8, 10, 6, 6, 6, 6, 2,

ไม่สวยเท่าของคุณ nooonuii ครับ หาอย่างลวกๆตอนตั้งโจทย์ข้อนี้ เพราะผมไม่เคยจดตัวอย่างมาก่อนเลย จำไว้แต่ว่าคำตอบคือ "1 ชุด"

คุณ nooonuii ได้จากข้อนี้ไปอีก 5 คะแนน ทำให้ตอนนี้มีคะแนนรวมอยู่ในอันดับ 2 แล้วครับ :)

ขอบคุณคร้าบบบ :please: จริงๆคำตอบข้อนี้ต้องขอบคุณน้อง roommate ผมเองครับที่ให้ผมยืมไพ่มาเป็นเจ้ามือป๊อกเด้ง เอ๊ย ไม่ใช่ เอามาเล่นถอดไพ่นี่แหละครับ ฮี่ฮี่ :laugh: :laugh: