SMO 2006
 

จงหาจำนวนเต็ม $p$ ที่ทำให้รากทั้ง 2 ของสมการ
$5x^2-5px+(66p-1)=0$
เป็นจำนวนเต็มบวก

ช่วยคิดหน่อยค้าบ :p

แปลงสมการ
$x^2-px+\frac{66p-1}{5}=0$
ให้ $a,b$ เป็นรากทั้งสองของสมการ
ดังนั้น $a+b=p$
และเราจะได้ว่า \[\begin{array}{rcl} \frac{66p-1}{5} &=& ab \\
66(a+b)-1 &=& 5ab
\end{array}
\]
แล้วก็แก้สมการเอาครับ

SMO ย่อมาจากอะไรครับ. :huh:

Singapore Mathematical Olympaid ครับ
พอดีที่ รร. ส่งนักเรียนสอบ
โดย singapore ส่งข้อสอบมาที่ รร.
เลยไปยืมข้อสอบรุ่นน้องมาดู (ผมสอบไม่ได้ อายุเกิน :cry: )

(น้อง R-Tummykung de Lamar ก้อสอบคับ ถ้าว่างๆ คงเอาข้อสอบทั้งชุดมาโพสต์ (มั้ง) )

ว้าว... เดี๋ยวนี้เขาไปสอบกันเล่นที่สิงคโปร์กันแล้วหรือนี่ อยากไปบ้างจัง อายุเกินไปนิด :laugh:

ตอนแรกนึกว่าเป็น SMO=Swiss math olympiad ซะอีก :p

ไหนๆก็เข้ามาแล้ว ลองเอาข้อสอบรอบแรกของ SMO(=swiss) มาให้ลองทำสักสามข้อละกัน
1. จงหาจำนวนเฉพาะ $p,q,r$ ทุกชุดที่ทำให้ $|p-q|,\ |q-r|,\ |r-p|$ เป็นจำนวนเฉพาะ
2. ให้ $n$ เป็นจำนวนนับ จงหาจำนวนของสับเซต $A\subset\{1,2,\dots,2n\}$ ที่ทำให้ผลบวกของสมาชิกสองตัวใดๆใน $A$ ไม่เท่ากับ $2n+1$
3. ในสามเหลี่ยม ABC ให้ D เป็นจุดตัดของ BC กับเส้นแบ่งครึ่งมุม BAC จุดศูนย์กลางของวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม ABC เป็นจุดเดียวกันกับจุดศูนย์กลางวงกลมแนบในสามเหลี่ยม ADC จงหาขนาดมุมทั้งสามของสามเหลี่ยม ABC

ข้อ 3 ตอบ 36 ,72,72 องศา ใช่มั้ยค้าบ

ใช่แล้วครับ

แล้วข้อ 2 ก็ตอบ 3ⁿ หรือเปล่าครับ

ส่วนวิธีทำข้อ 3 ขอแปะไว้ก่อนนะครับ :laugh:

ข้อสองก็ถูกเช่นกันครับ

มาแปะวิธีทำไว้เลยดีกว่า (เผื่อกลับดึก)

ข้อ 3
ให้ O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมทั้ง 2 ตามโจทย์
ลาก O ตั้งฉากกับ AC, BC พบว่า แบ่งครึ่งด้านทั้งสองด้วย
และจาก ท.บ. เกี่ยวกับวงกลมและเส้นสัมผัส ทำให้ BC= AC ด้วย
แสดงว่า ABC เป็นสามเหลี่ยม หน้าจั่ว
ถ้าให้ C เป็นจุดยอด และมุมที่ฐานกาง 2q ดังนั้น มุม C กาง 180-4q...(1)
ขณะเดียวกัน ถ้าลาก OA พบว่าแบ่งครึ่งมุม DAC และทำให้ OAC เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว นั่นคือ
มุม C กาง 2(q/2)=q...(2)

จาก (1)=(2) แล้วไล่หามุมอื่นๆตามต้องการ

ข้อ 2

partition set ดังกล่าว เป็น (1,2n) , (2,2n-1),...,(n,n+1)
subset ที่มีคุณสมบัติดังกล่าว สร้างได้ดังนี้
ขั้นที่ 1: เลือกสมาชิกตัวหน้ามา k ตัว ได้ ${n \choose k} $วิธี
ขั้นที่ 2: เลือก(หรือไม่เลือก)สมาชิกตัวหลังในบรรดา n-k ตัวที่ไม่เข้าคู่กับตัวหน้าในขั้น1 ทำได้อีก 2^n-kวิธี

ดังนั้นจำนวนสับเซตคือ $$ \sum_{k=0}^n {n \choose k}2^{n-k}= (1+2)^n=3^n $$

ตอนนี้ ทางสิงคโปร์ เขาแจ้งคะแนนของ Singapore MO 2006 ที่ส่งมาให้นักเรียนไทยทำ หรือยังครับ :confused:

p.s. ส่วนใครที่จะสอบ โอลิมปิก เลข รอบแรก สสวท. ในวันพรุ่งนี้ ขอให้โชคดีนะคร้าบ...

ยังคับ :eek: